Главная Промышленная автоматика.

действующая пересекала плоскость внутри опорного многоугольника, что вытекает из двух последних уравнений (2). Если имеются только три точки опоры, то уравнения (2) позволяют определить три реак ции. Если их больше, то необходимо принять в расчет упругость тела.

4°. Приложения. Чтобы показать, как можно составить вспомогательные условия равновесия, рассмотрим прямоугольный стол, опирающийся четырьмя ножками на горизонтальную плоскость.

Пусть AtAAA- стол, на который мы положим произвольные тела. Пусть Р -равнодействующая весов тел и стола и Л -ее точка лересечения со столом. Обозначим через В, В, Bg, В (рис. 75) точки опоры. Примем неподвижную горизонтальную плоскость за плоскость ху,

центр опорного прямоугольника за начало координат и прямые, параллельные его сторонам, за оси хну. Координаты точек опоры В, В, Вц, будут соответственно (а, Ь), { - а,Ь), (-а, ~Ь), {а, -Ь). Пусть X, у - координаты точки А. Обозначим через Oi, О,, Qi реакции плоскости. Напишем сначала общие уравнения равновесия, которые здесь имеют вид:

QiH-03+03 + 04-P = 0,1

*0г4-*0з-*0з -*Q4-Py = 0. -aQiaQ + яОз - «О* + Рх==0.

Чтобы получить еще одно уравнение, мы допустим, что грунт не является абсолютно твердым и что он оседает в каждой точке на очень малую величину, пропорциональную давлению на грунт в этой точке. Обозначим через £1, ез, eg, величины, на которые ножки углубляются в грунт. Тогда, по предположению,

1 Н £з Ч

Qi о2 Q3 О*"

Точка О, рассматриваемая последовательно как середина отрезков Вбд и В2В4, опустится на величину


Рис. 75.

00= fl+il, 00 = -

Следовательно, должно быть

откуда

1 + 3 = «3 + 4-

Если имеются р точек опоры, то, написав, что после деформации грунта они остаются в одной плоскости, мы получим р - 3 условий, которые совместно с тремя общими уравнениями позволят определить все реакции.

В нашем частном случае из уравнений (1) и (2) после их разрешения относительно Qj, Q2. Рз> Qi получаются для этих величин значения



где величине Qt соответствуют знаки (++), Оз-знаки (--1- ), Qj-знаки (--)

и Qi - знаки (+ -). Необходимо, чтобы все эти значения были положительными, а для этого точка А должна находиться внутри ромба с вершинами в серединах ребер стола. Если точка А находится вне этого ромба, например со стороны Ау (рис. 75), то реакция Qg будет отрицательной, а остальные три будут положительными. Так как это невозможно, то следует предположить, что ножка не оказывает больше давления на грунт и надо вычислять реакции Qj, Q2, Qi так, как если бы стол был поставлен только на три ножки, для чего нужно в уравнениях (1) положить Q3 = 0.

113. Несколько твердых тел. Для нахождения условий равновесия системы, состоящей из нескольких твердых тел, соединенных взаимными связями, можно применить следующий метод: нужно выразить, ЧТО каждое из тел системы находится в равновесии под действием сил, непосредственно к нему приложенных, и под действием на него реакций остальных тел. Эти последние силы подчинены закону равенства действия и противодействия. Мы не будем заниматься здесь приложением этого метода. Мы увидим дальше, что принцип возможных скоростей дает значительно более быстрый метод для решения подобных вопросов.

V. Некоторые формулы для вычисления центра тяжести

114. Линии. На линии АВ возьмем две точки Р и Р (рис. 76) и обозначим через т массу дуги РР. Отношение есть средняя плотность

дуги РР. Если это отношение не зависит от положения точек Р и Р, то говорят, что линия АВ однородна. Если оно изменяется, то плотностью линии в точке Р называют предел р средней плотности дуги РР, когда точка Р стремится к Р. Плотность р, изменяясь с положением точки Р, является функцией параметра, определяющего положение точки Р на кривой. Пусть ds - бесконечно малый элемент кривой, содержащий точку Р с координатами X, у, 2. Масса dm этого элемента равна р ds и, обозначая через М всю массу кривой, а через £, т;, С координаты ее центра тяжести, имеем


М = j fds, Mi = J дгр ds, -1 = Jy? ds, Ml z= J zf ds.


Рис. 76.

Если линия однородна, то средняя плотность р будет постоянной и масса М будет тогда р/, где / - длина кривой. Для 5, irj, с получим:

= jxds, lri = jyds, К = Jzds.

115. Теорема Гюльдена. Площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой вокруг оси, расположенной в ее плоскости и



А = 2л Jy ds = 2щ I,

что и доказывает теорему.

Если ось пересекает кривую, то найденное выражение для А представляет не полную поверхность, а разность между поверхностями, образованными вращением частей кривой, расположенных по одну и по другую сторону оси, так как в интеграле А элемент у ds будет положительным или отрицательным, в зависимости от того, находится ли элемент ds выше или ниже оси.

116. Поверхности. Пусть т - масса элемента поверхности с площадью а. Отношение /и/а есть средняя плотность элемента а. Плотность р поверхности в точке Р есть предел отношения /и/а, когда а есть бесконечно малый элемент, окружающий точку Р. В общем случае р будет функцией двух параметров, определяющих положение точки Р на поверхности. Когда плотность р постоянна, поверхность называется однородной.

Пусть da - бесконечно малый элемент поверхности, окружающий точку Р с координатами х, у, г. Масса этого элемента равна dm = р rfa и, обозначив через Ж всю массу, а через i\, Z координаты центра тяжести, получим

= J fda, Mi = J Xf da, Mri = J" J" yp da, - J J Zf da.

У однородной поверхности плотность р - постоянна, масса М равна р5, где 5 - площадь поверхности, и мы получаем

= jfxda, S7i = JJyda, SC = fjda.

117. Плоские фигуры. Примем плоскость фигуры за плоскость ху. Координата С будет тогда равна нулю. Элемент da будет иметь разные выражения в зависимости от принятой системы координат. Например, в полярных координатах /-ив элемент da будет равен г dr d%, в декартовых косоугольных координатах с углом а между осями он равен sin а dx dy, ...

В частности, для однородной фигуры, отнесенной к прямоугольным декартовым координатам, формулы принимают вид

S = J J dx dy, = J J л: dx dy, St] = J J у dx dy, SI. = J J z dx dy,

где одно интегрирование всегда может быть выполнено.

118. Теорема Гюльдена. Объем, образованный плоской фигурой, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры, принимаемой за однородную.

Какой-нибудь элемент dx dy фигуры S при вращении вокруг оси Ох описывает элемент объема, равный разности объемов цилиндров, описанных прямоугольниками ABCD и АBCD (рис. 77), т. е. с точностью до величин третьего порядка равный

2лу dx dy.

ее не пересекающей, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описываемой ее центром тяжести, в предположении, что кривая однородна.

В самом деле, отнесем плоскую кривую к оси вращения, принятой за ось Ох, и перпендикулярно к последней направим ось Оу. Элемент ds с ординатой у образует при вращении элемент поверхности dA, который можно отождествить с боковой поверхностью усеченного конуса, так что

dA = 2яу ds.

Следовательно,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0055