"I Pi Ь 1 М-1 1

<Х2 р, Y2 Хз Ц,

Рб Y6 6 Н 6

= 0,

которое выражает, что шесть прямых принадлежат одному и тому же линейному комплексу.

Такие же вычисления показывают, что если число заданных прямых превышает шесть, то по ним всегда можно направить силы, находящиеся в равновесии, так как шесть уравнений (1) будут содержать более шести неизвестных.

IV. Твердое тело, подчиненное связям

108. Метод. Общий метод, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что мы будем рассматривать тела как свободные, вводя в качестве вспомогательных неизвестных реакции, вызываемые наложенными связями, которые называются реакциями связей.

или мнимых точках р и р". Две образующие S системы Л, проходящие через эти две точки, образуют две секущие, пересекающие четыре прямых £>!, Do,, D3, £>4. Эти две секущие Д и Д" должны также пересечь и прямую D5. Необходимо, следовательно, чтобы существовали две прямые, пересекающие одновременно все пять заданных прямых, или, на языке геометрии прямых, заданные пять прямых должны принадлежать линейной конгруенции. Рассуждениями, совпадающими с предыдущими (случай параболоида), можно показать, что это условие является достаточным.

4°. Шесть прямых. Для того чтобы по шести прямым можно было направить шесть сил, находящихся в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эти прямые принадлежали линейному комплексу.

Применим аналитический метод, указанный Мёбиусом и Сомовым. На одной из шести прямых Djc отложим в определенном направлении отрезок единичной длины и обозначим через а, р, Yfc проекции этого отрезка на три оси, а через Ijc, (i, чк - его моменты относительно этих осей. Эти шесть величин, связанных соотношением

<кЧ + hv-k + tk4 = о,

пропорциональны величинам, названным Плюккером координатами прямой Dk-Направим теперь вдоль прямой Dk силу, алгебраическое значение которой, отсчитываемое в направлении отрезка dk, равно Fk- Проекции и моменты этой силы равны

"ft/ft, hk- tkn; hk, V-kPk 4kFk.

Если все это проделать для каждой из шести рассматриваемых прямых (k - \,2.....6) и написать, что шесть сил находятся в равновесии, то получится шесть уравнений

кРк==<, hFk = Q, -iuFki- 1

4Fk = Q, y,VkFk(i, чкРкО, I

где суммирование распространяется на все шесть сил. Из этих шести линейных и однородных уравнений можно определить для шести неизвестных Fx, F2, •,Fq значения, неравные одновременно нулю лишь в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений (1), равен нулю. Таким образом, получаем необходимое и достаточное условие

109, Тело с неподвижной точкой. Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О, вокруг которой оно может

свободно вращаться. Обозначим через F, F.....F„ действующие

на тело силы. Такое тело может быть названо рычагом в наиболее общем смысле этого слова. Мы занимаемся, следовательно, условиями равновесия рычага.

Тело оказывает на неподвижную точку давление r (рис. 71). По закону равенства действия и противодействия неподвижная точка действует на тело силой Q, равной и противоположной силе r, так что тело может рассматриваться как свободное под действием

сил f 1, F.....Fn, Q- Если тело находится [L

в равновесии, то первые я сил имеют равнодействующую, равную и прямо противоположную силе Q. Следовательно, условия равновесия заключаются в том, что заданные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это условие является достаточным, так как если заменить все приложенные к телу силы

указанной равнодействующей, то она уравновесится сопротивлением неподвижной точки, со стороны которой будет действовать равная и прямо противоположная равнодействующей сила реакции.

Мы можем прийти к этому же результату и аналитически. В точке О выберем три прямоугольные оси координат; обозначим через X, Y, Z, L, М, n проекции главного вектора и главного момента относительно начала О системы сил F, приложенных к телу, а через X, К, Z проекции реакции Q неподвижной точки. Условия равновесия будут:

Х+Х = 0, У4-Г = 0, Z + Z = 0, (1)

1 = 0, Ж = О, А/= 0. (2)

Уравнения (2), не содержащие реакции, являются необходимыми условиями равновесия. Они выражают, что приложенные к телу силы F приводятся к одной силе, проходящей через начало О. Уравнения (1) показывают тогда, что реакция {X, Y, Z) равна и противоположна этой равнодействующей (X, Y, Z), которая является не чем иным, как давлением на неподвижную точку.

Рассмотрим частный случай рычага, находящегося под действием только двух сил Fy и /2- Для того, чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы эти силы уравновешивались реакцией Q точки О. Для того чтобы три силы Fi, F2, Q находились в равновесии, необходимо, чтобы силы Fy и F2 находились в одной плоскости с точкой О и чтобы сумма моментов сил F и F2 относительно точки О равнялась нулю. Это - хорошо известное элементарное условие равновесия рычага.

110. Тело, имеющее неподвижную ось. Пусть F, F., ..., - силы, действующие на твердое тело. Они вызывают в различных точках оси давления Р, Р", Р".....а ось, в свою очередь, действует на тело реакциями Q, Q", Q", ... Тело может рассматриваться как свободное, но находящееся под действием сил Fi, F2.....Р„, Q, Q", • Для того чтобы было равновесие, необходимо, в частности, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно неподвижной оси, которую мы примем за ось z, равнялась нулю. А так как моменты реакций Q, Q", ... равны нулю, то необходимо, чтобы было

Л/ = 0.

Это - необходимое условие равновесия. Оно и достаточно. В самом деле, если оно выполняется, то система сил приводится к одной силе, равной главному вектору OR и уравновешивающейся сопротивлением оси, и к паре с вектором момента 00, перпендикулярным к Ог, так как равно нулю. Эта пара может быть повернута в своей плоскости таким образом, чтобы ее плечо совпало с осью. Тогда силы ср,<р, составляющие пару, будучи приложены к точкам

оси, уравновешиваются ее сопротивлением, и тело действительно находится в равновесии.

Задача, которою мы занимаемся, представляет собою условия равновесия ворота.

Найдем теперь реакции оси. Эти реакции являются силами, приложенными в различных точках тела, соприкасающихся с осью. Они могут быть приведены к двум силам Q и

приложенным к двум точкам О и О оси. Такой результат может быть получен физи-

чески, если закрепить две точки О и О оси, сделав ее таким образом неподвижной. Эти точки действуют на тело, развивая реакции Q и Q. Примем точку О за начало. Обозначим через X, Y, Z, L, М, N те же элементы, что и раньше, а через X, У, Z, X", У", Z" проекции реакций Q и Q". Пусть Л - расстояние 00. Мы получим условия равновесия (рис. 72):

.Y4-A" + A" = 0, У + Г4-Г =

Рис. 72.

:0, Z+Z+Z" = 0, = 0, А/ = 0.

Последнее из этих уравнений не зависит от реакций: это - необходимое и достаточное условие равновесия тела. Два предшествующих уравнения определяют X" и У". Подставляя эти значения в два первых уравнения, найдем X и У. Но Z и Z" связаны только одним условием

Z + Z4-Z"--0,