Главная Промышленная автоматика.

"I Pi Ь 1 М-1 1

<Х2 р, Y2 Хз Ц,

Рб Y6 6 Н 6

= 0,

которое выражает, что шесть прямых принадлежат одному и тому же линейному комплексу.

Такие же вычисления показывают, что если число заданных прямых превышает шесть, то по ним всегда можно направить силы, находящиеся в равновесии, так как шесть уравнений (1) будут содержать более шести неизвестных.

IV. Твердое тело, подчиненное связям

108. Метод. Общий метод, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что мы будем рассматривать тела как свободные, вводя в качестве вспомогательных неизвестных реакции, вызываемые наложенными связями, которые называются реакциями связей.

или мнимых точках р и р". Две образующие S системы Л, проходящие через эти две точки, образуют две секущие, пересекающие четыре прямых £>!, Do,, D3, £>4. Эти две секущие Д и Д" должны также пересечь и прямую D5. Необходимо, следовательно, чтобы существовали две прямые, пересекающие одновременно все пять заданных прямых, или, на языке геометрии прямых, заданные пять прямых должны принадлежать линейной конгруенции. Рассуждениями, совпадающими с предыдущими (случай параболоида), можно показать, что это условие является достаточным.

4°. Шесть прямых. Для того чтобы по шести прямым можно было направить шесть сил, находящихся в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эти прямые принадлежали линейному комплексу.

Применим аналитический метод, указанный Мёбиусом и Сомовым. На одной из шести прямых Djc отложим в определенном направлении отрезок единичной длины и обозначим через а, р, Yfc проекции этого отрезка на три оси, а через Ijc, (i, чк - его моменты относительно этих осей. Эти шесть величин, связанных соотношением

<кЧ + hv-k + tk4 = о,

пропорциональны величинам, названным Плюккером координатами прямой Dk-Направим теперь вдоль прямой Dk силу, алгебраическое значение которой, отсчитываемое в направлении отрезка dk, равно Fk- Проекции и моменты этой силы равны

"ft/ft, hk- tkn; hk, V-kPk 4kFk.

Если все это проделать для каждой из шести рассматриваемых прямых (k - \,2.....6) и написать, что шесть сил находятся в равновесии, то получится шесть уравнений

кРк==<, hFk = Q, -iuFki- 1

4Fk = Q, y,VkFk(i, чкРкО, I

где суммирование распространяется на все шесть сил. Из этих шести линейных и однородных уравнений можно определить для шести неизвестных Fx, F2, •,Fq значения, неравные одновременно нулю лишь в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений (1), равен нулю. Таким образом, получаем необходимое и достаточное условие




109, Тело с неподвижной точкой. Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О, вокруг которой оно может

свободно вращаться. Обозначим через F, F.....F„ действующие

на тело силы. Такое тело может быть названо рычагом в наиболее общем смысле этого слова. Мы занимаемся, следовательно, условиями равновесия рычага.

Тело оказывает на неподвижную точку давление r (рис. 71). По закону равенства действия и противодействия неподвижная точка действует на тело силой Q, равной и противоположной силе r, так что тело может рассматриваться как свободное под действием

сил f 1, F.....Fn, Q- Если тело находится [L

в равновесии, то первые я сил имеют равнодействующую, равную и прямо противоположную силе Q. Следовательно, условия равновесия заключаются в том, что заданные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это условие является достаточным, так как если заменить все приложенные к телу силы

указанной равнодействующей, то она уравновесится сопротивлением неподвижной точки, со стороны которой будет действовать равная и прямо противоположная равнодействующей сила реакции.

Мы можем прийти к этому же результату и аналитически. В точке О выберем три прямоугольные оси координат; обозначим через X, Y, Z, L, М, n проекции главного вектора и главного момента относительно начала О системы сил F, приложенных к телу, а через X, К, Z проекции реакции Q неподвижной точки. Условия равновесия будут:

Х+Х = 0, У4-Г = 0, Z + Z = 0, (1)

1 = 0, Ж = О, А/= 0. (2)

Уравнения (2), не содержащие реакции, являются необходимыми условиями равновесия. Они выражают, что приложенные к телу силы F приводятся к одной силе, проходящей через начало О. Уравнения (1) показывают тогда, что реакция {X, Y, Z) равна и противоположна этой равнодействующей (X, Y, Z), которая является не чем иным, как давлением на неподвижную точку.

Рассмотрим частный случай рычага, находящегося под действием только двух сил Fy и /2- Для того, чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы эти силы уравновешивались реакцией Q точки О. Для того чтобы три силы Fi, F2, Q находились в равновесии, необходимо, чтобы силы Fy и F2 находились в одной плоскости с точкой О и чтобы сумма моментов сил F и F2 относительно точки О равнялась нулю. Это - хорошо известное элементарное условие равновесия рычага.



110. Тело, имеющее неподвижную ось. Пусть F, F., ..., - силы, действующие на твердое тело. Они вызывают в различных точках оси давления Р, Р", Р".....а ось, в свою очередь, действует на тело реакциями Q, Q", Q", ... Тело может рассматриваться как свободное, но находящееся под действием сил Fi, F2.....Р„, Q, Q", • Для того чтобы было равновесие, необходимо, в частности, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно неподвижной оси, которую мы примем за ось z, равнялась нулю. А так как моменты реакций Q, Q", ... равны нулю, то необходимо, чтобы было

Л/ = 0.


Это - необходимое условие равновесия. Оно и достаточно. В самом деле, если оно выполняется, то система сил приводится к одной силе, равной главному вектору OR и уравновешивающейся сопротивлением оси, и к паре с вектором момента 00, перпендикулярным к Ог, так как равно нулю. Эта пара может быть повернута в своей плоскости таким образом, чтобы ее плечо совпало с осью. Тогда силы ср,<р, составляющие пару, будучи приложены к точкам

оси, уравновешиваются ее сопротивлением, и тело действительно находится в равновесии.

Задача, которою мы занимаемся, представляет собою условия равновесия ворота.

Найдем теперь реакции оси. Эти реакции являются силами, приложенными в различных точках тела, соприкасающихся с осью. Они могут быть приведены к двум силам Q и

приложенным к двум точкам О и О оси. Такой результат может быть получен физи-

чески, если закрепить две точки О и О оси, сделав ее таким образом неподвижной. Эти точки действуют на тело, развивая реакции Q и Q. Примем точку О за начало. Обозначим через X, Y, Z, L, М, N те же элементы, что и раньше, а через X, У, Z, X", У", Z" проекции реакций Q и Q". Пусть Л - расстояние 00. Мы получим условия равновесия (рис. 72):

.Y4-A" + A" = 0, У + Г4-Г =

Рис. 72.

:0, Z+Z+Z" = 0, = 0, А/ = 0.

Последнее из этих уравнений не зависит от реакций: это - необходимое и достаточное условие равновесия тела. Два предшествующих уравнения определяют X" и У". Подставляя эти значения в два первых уравнения, найдем X и У. Но Z и Z" связаны только одним условием

Z + Z4-Z"--0,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038