Главная Промышленная автоматика.

ров тяжести этих различных частей, получим для координат 1, -ц, С центра тяжести тела следующие формулы:

Когда желают определить центр тяжести произвольного тела заданной формы, например какой-нибудь металлической массы, то нужно применить полученные формулы к телу, образованному очень большим числом материальных точек, расположенных на очень малых взаимных расстояниях. Этой трудности можно избежать, рассматривая тело как непрерывное, что не соответствует действительности, но дает вполне достаточное для приложений приближение. Мы отсылаем читателя, желающего получить более подробное представление о законности такой замены заданного тела сплошным, к главе VI Механики Пуассона, относящейся к теории притяжения тел. Уподобляя таким образом твердое тело некоторому сплошному объему, мы предполагаем его разложенным на бесконечно большое число бесконечно малых частей и помещаем центр тяжести каждой из таких частей в какой-нибудь точке ее массы. Тогда формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, разбитого на части с массами My, М, . .., Мр, сохраняются при условии замены сумм, входящих в числители и знаменатели, тройными интегралами. Если тело имеет очень малую толщину по сравнению с другими своими измерениями, то его уподобляют поверхности. Таким является, например, очень тонкий лист бумаги или металла. Точно так же имеются случаи, когда тело можно рассматривать как линию; таким является случай длинной и тонкой нити.

Мы укажем в конце главы некоторые формулы для определения центров инерции линий, поверхностей и объемов.

III. Приложения. Произвольные силы в пространстве

106. Примеры равновесия. 1°. Силы, приложенные в центрах тяжести А, В, С, D граней тетраэдра ABCD, пропорциональные площадям этих граней, им перпендикулярные и направленные внутрь тетраэдра, находятся в равновесии. В самом деле, эти силы по отношению к тетраэдру ABCD, имеющему вершины в центрах тяжести граней данного тетраэдра, находятся в положении, указанном в конце п. 100. Отсюда можно заключить, что силы, приложенные в центрах тяжести граней многогранника, пропорциональные площадям этих граней, нормальные к ним и направленные внутрь многогранника, находятся в равновесии. Для этого достаточно разбить многогранник на тетраэдры и применить к совокупности этих тетраэдров те же рассуждения, что и в первом примере п. 102.

В качестве предельного случая приходим к выводу, что если взять произвольную замкнутую поверхность и к каждому ее бесконечно малому элементу приложить силу, пропорциональную площади этого элемента и направленную по нормали, то полученная система сил находится в равновесии.



2°. Пары, векторные моменты которых пропорциональны площадям граней многогранника и направлены внутрь нормально к ним, находятся в равновесии. В самом деле, сумма проекций моментов этих пар на произвольное направление равна нулю.

107. Условия, при которых силы, находящиеся в равновесии, могут быть направлены по трем, четырем, пяти, шести прямым. Найдем, как должны быть расположены в пространстве три, или четыре, или пять, или шесть прямых, для того, чтобы по ним можно было направить силы, находящиеся в равновесии. Сделаем сначала следую1цее замечание. Если несколько сил Fi, F2, F„ находятся в равновесии, то сумма их моментов относительно произвольной оси равна нулю, поэтому, если какая-нибудь ось А пересекает направления п - 1 сил, то момент каждой из этих сил будет равен нулю и потому момент последней силы будет также равняться нулю, вследствие чего ось Д пересечет линию действия этой последней силы в точке, находящейся на конечном расстоянии или в бесконечно удаленной точке. Это свойство сохраняется и для мнимой оси, несмотря на то, что нельзя больше говорить о моментах относительно этой оси. В самом деле, пусть {х, у, г) и (х", у", z") - две вещественные или мнимые точки, Д -прямая, их соединяющая, и Хи, Ук> Z, L, М, - проекции и моменты какой-нибудь силы />, приложенной в точке х,, Уь к- Условие того, что прямая Д и сила F]f находятся в одной плоскости, на основании элементарных формул аналитической геометрии, заключается в том, что величина

Шк = (х" - X) Lk -f {у" - у) Мк + {г" - Z) Nk +

+ (уг" гу") Хк + {zx" - xz") Yk + (ху" - ух") Zk

равна нулю. Если силы Fi, F.....F„ находятся в равновесии, то сумма

... +т.п

равна, очевидно, нулю. Следовательно, если величины. SJli, 5Ш2> •••> Otn-i равны нулю, т. е, если ось Д пересекает л - 1 первых сил, то и Шп равно нулю и ось Д пересекает также и последнюю силу на конечном расстоянии или в бесконечно удаленной точке. Если точка х, у, z вещественная, то условие SRft = О означает, что момент Fk относительно этой точки перпендикулярен к прямой Д.

Г. Три прямых. Допустим, что по трем прямым направлены три силы, находящиеся в равновесии. Любая ось, пересекающая две из этих прямых, должна пересекать также и третью. Все три прямые обязательно находятся в одной плоскости: если две из этих прямых пересекаются в одной точке, то и третья прямая проходит через эту точку; в противном случае, все три прямые параллельны. Эти условия необходимы. Если они удовлетворены, то по этим трем прямым можно, очевидно, всегда направить силы, находящиеся в равновесии.

2*. Четыре прямых. Допустим, что по четырем прямым D3, D4

направлены четыре силы, находящиеся в равновесии. Любая ось Д, пересекающая три из этих прямых, должна пересекать и четвертую. Следовательно, если мы остановимся на общем случае, когда никакая пара прямых не лежит в одной плоскости, то линейчатая поверхность второго порядка (гиперболоид или параболоид), представляющая собою геометрическое место осей Д, пересекающих одновременно три прямых, должна содержать и четвертую, как образующую той же системы, что и три первых. Мы получаем, таким образом, необходимое условие, указанное Мёбиусом: необходимо, чтобы Dx, Dg, D3, D4 были четырьмя образующими {одной и той же системы) поверхности второго порядка. Для того чтобы показать, что это условие является достаточным, мы воспользуемся следующим доказательством, данным Дарбу (статья в первом томе Механики Депейру).



Возьмем на гиперболоиде четыре образующих Dy, D, D, одной и той же системы. Через точку А (рис. 70) пространства проведем прямые Ах, Ач, Лд, Ai, параллельные этим образующим. Направим по прямой А силу fI и пусть Fy, F, F являются составляющими по прямым Л,, Ао,, А силы, равной и противоположной силе F, и приложенной тоже в точке А. Геометрическая сумма четырех полученных таким образом сил F, F, F, F будет, очевидно, равна нулю. Перенесем теперь эти силы параллельно самим себе на прямые Dy, Dg, D, D, после чего получим силы Fx, Fo, Fg, F. Эти четыре новые сильГнаходятся в равновесии. Действительно, их главный вектор равен нулю, и их главный момент будет поэтому одинаковым относительно всех точек пространства. Этот главный момент либо равен нулю, либо перпендикулярен всем образующим Д второй системы гиперболоида, так как каждая такая образующая Д пересекает четыре прямые Dy, D, D3, и поэтому сумма моментов относительно Д, т. е. проекция главного момента на ось Д, равна нулю.

Отсюда следует, что главный момент равен нулю, так как он не может быть перпендикулярен всем образующим одной и той же системы гиперболоида, поскольку последние не параллельны одной и той же плоскости. Таким образом, имеет место равновесие.

Если четыре прямых Dy, Do, Dg, Di являются образующими одной и той же системы гиперболического параболоида, то вспомогательные прямые Ах, А2, Ag, Ai лежат в одной плоскости. Тогда можно, поступая как и в предыдущем случае, поместить на трех первых прямых Dx, D2, Dg три силы fx, /2, /3, главный вектор которых равен нулю, а главный момент имеет величину а, одинаковую для всех точек пространства, и направлен перпендикулярно ко всем образующим Д второй системы, т. е. перпендикулярно второй направляющей плоскости. Точно так же можно поместить на прямых Dx, Do и Di три силы gx, g, gi, главный вектор которых равен нулю и главный момент которых b перпендикулярен второй направляющей плоскости, т. е. имеет то же направление, что и а Если теперь на четырех прямых поместить силы

полученные сложением сил первой системы, умноженных на X, и сил второй системы, умноженных на fA, то главный вектор будет равен нулю, а главный момент будет перпендикулярен второй направляющей плоскости и будет равен \а-{-Ь. Величинами X и ц можно распорядиться таким образом, чтобы этот момент равнялся нулю, и тогда указанные четыре силы будут находиться в равновесии.

3°. Пять прямых. Если по пяти прямым Dx, Oj, D3. Di, Об можно направить пять сил, находящихся в равновесии, то любая прямая, пересекающая четыре из них, будет обязательно пересекать и пятую. Существуют две вещественные или мнимые секущие Д и А", пересекающие Dx, Do, D, Di, В самом деле, прямые Д, пересекающие Dx, Da Ds, образуют поверхность второго порядка S, которая пересекает прямую Di в двух вещественных


Рис. 70.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [40] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0044