Главная Промышленная автоматика.

Присоединить или отбросить две равные прямо противоположные силы; перенести силу в какую-нибудь точку на ее линии действия.

Сложить несколько сходящихся сил в одну или разложить одну силу на несколько сходящихся сил.

Мы видели, что все системы скользящих векторов, полученные при помощи этих элементарных действий, эквивалентны, т. е. имеют одни и те же главные векторы и главные моменты. Наоборот, две эквивалентные системы скользящих векторов могут быть получены одна из другой при помощи этих действий. Следовательно, две системы сил, представляющие собой эквивалентные системы скользящих векторов, могут быть заменены одна другой без изменения механического состояния твердого тела.

Приведение к двум силам. Как было показано в теории векторов, система сил (S), приложенная к твердому телу, может быть приведена при помощи элементарных операций к двум силам F и Ф, из которых одна приложена в произвольно выбранной точке.

Приведение к силе а паре. Как было показано в теории векторов, произвольная система сил (S) может быть заменена одной силой R, равной главному вектору и приложенной в произвольной точке О, и одной парой с вектором момента, равным главному моменту 00 относительно точки О.

Равновесие. Для равновесия необходимо, чтобы система (5) была эквивалентна нулю, т. е. чтобы ее главный вектор OR и главный момент 00 равнялись нулю. Это условие также и достаточно. В самом деле, если оно выполняется, то при помощи элементарных действий все силы могут быть приведены к одной паре с моментом 00, равным нулю, и образованной, следовательно, двумя равными и противоположными силами, лежащими на одной прямой.

Уравнения равновесия. Обозначим через X, Y, Z суммы проекций всех сил на три оси координат, а через L, М, N суммы их моментов относительно тех же осей. Тогда необходимые и достаточные условия равновесия выразятся уравнениями:

=0, У = 0, Z=0; L = 0, Ж = 0. N <д.

98. Эквивалентные системы Сил. Мы видели в предыдущем разделе, что если две системы сил, приложенные к твердому телу, изображаются двумя эквивалентными системами скользящих векторов, то они могут быть заменены одна другой без изменения состояния тела.

Наоборот, если две системы сил {а) и (Б) могут быть заменены одна другой без изменения механического состояния тела, то они изображаются двумя эквивалентными системами скользящих векторов.

В самом деле, рассмотрим систему (-а), получаемую из системы (Л) заменой всех сил на противоположные. Эта система (- а),



очевидно, уравновешивает систему (А). Но тогда она уравновесит также и систему (В), которая, по предположению, производит такое же действие, как и система (А). Следовательно, совокупность векторов (-А)-\-{В) эквивалентна нулю, откуда вытекает, что система векторов (А) эквивалентна системе векторов (В).

Когда две системы сил (Л) и (В) могут, быть заменены одна другой без нарушения механического состояния твердого тела, то их называют эквивалентными. Мы видим, таким образом, что для того, чтобы две системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они представлялись двумя эквивалентными системами скользящих векторов,

99. Частные случаи приведения. Для того чтобы система (S) имела равнодействующую, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор OR был отличен от нуля, а главный момент 00 либо равнялся нулю, либо был перпендикулярен главному вектору. Тогда равнодействующая будет лежать на центральной оси. Аналитически имеем следующие условия:

;s2 j y2 j 22>o, LX+MY-\-NZ = Q.

Для того чтобы система (S) приводилась к одной паре, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор равнялся нулю, а главный момент был отличен от нуля:

ХО, У=0, Z=-0, OGO.

100. Другая форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо а достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно каждого из шести ребер тетраэдра равнялась нулю. Это условие является, очевидно, необходимым. Оно также и достаточно. В самом деле, допустим, что оно выполняется для тетраэдра ABCD. Тогда, так как суммы моментов относительно трех ребер АВ, АС, AD, выходящих из вершины А, равны нулю, то и главный момент относительно точки А равен нулю. Следовательно, все силы либо приводятся к одной равнодействующей, проходящей через точку А, либо находятся в равновесии. Так как эти рассуждения справедливы для каждой вершины, то силы находятся в равновесии, ибо они не могут иметь равнодействующую, проходящую одновременно через четыре вершины.

В качестве приложения докажем, что четыре силы, приложенные в четы-рех вершинах тетраэдра (рис. 67), пропорциональные площадям противоположных граней и направленные нормально к ним, находятся в равновесии. Для этого покажем, что суммы моментов относительно каждого из шести ребер тетраэдра равны нулю.




а. АА" = а АА. ctg ср == • пл BCD АА • ctg <р = 3ftlctg tp,

где V-объем тетраэдра и <р - двугранный угол при ребре CD. Такое же абсолютное значение имеет и момент силы р. Следовательно, сумма моментов относительно произвольно взятого ребра CD равна нулю.

П. Приложения. Силы в плоскости. Параллельные силы. Центр тяжести

101. Силы в плоскости, примем плоскость, в которой лежат силы, за плоскость ху. Очевидно, имеем:

Z О, I = О, М = 0,

LX+MYNZO.

Следовательно:

если X-YD, то система приводится к одной равнодействующей, лежащей в плоскости и направленной по центральной оси; если "=0, Y = Q, а то система приводится к паре;

если "=0, F = 0, N - 0, то система находится в равновесии. Когда N = 0, то силы либо имеют равнодействующую, проходящую через точку О, либо находятся в равновесии. Следовательно, если сумма моментов сил относительно двух точек плоскости равна нулю, то либо равнодействующая проходит через эти точки, либо имеет место равновесие. Если, наконец, эта сумма равна нулю для трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, то возможно только равновесие.

102. Примеры. 1°. Возьмем в плоскости ху произвольный многоугольник и приложим к середине каждой из его сторон силу, пропорциональную длине этой стороны, перпендикулярную к ней и направленную в сторону, внешнюю по отношению к многоугольнику. Эти силы на.ходятся в равновесии. Докажем это предложение геометрически. Сделаем это сначала для треугольника, обозначив его через ABC (рис. 68).

Три силы А {k ВС), В {k АС), С {k АВ) пересекаются в одной точке, как перпендикуляры в серединах сторон треугольника. Более того, сумма их проекций на произвольную ось равна, очевидно, нулю. Следовательно, эти силы находятся в равновесии.

Переходим теперь к случаю произвольного.многоугольника. При помощи диагоналей, проведенных из одной вершины, разобьем его на треугольники. В середине каждой стороны полученного треугольника приложим силу, пропорциональную длине этой стороны, ей перпендикулярную и направленную

В самом деле, пусть а, р, т, 5 - силы, приложенные к вершинам А, В, С, D тетраэдра. Тогда

а = й • пл. BCD, р = й • пл. CD А, = й • пл. DAB, 5 = й • пл. ABC.

Возьмем моменты относительно ребра CD: моменты сил у и 5 равны нулю, моменты сил аир противоположны по знаку. Так как сила а направлена по высоте АА, то угол между а и CD - прямой, и кратчайшим расстоянием между а и CD является перпендикуляр АА", опущенный из А на CD; следовательно, абсолютное значение момента силы а относительно CD равно





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037