Главная Промышленная автоматика.

что функция MOl" + MOl" + ... + iWO"" имеет максимум или минимум, когда точка М совпадает с положением равновесия А. Если -; = -1, то эта функция должна быть заменена функцией log MOi МО2 МОп-Если V == 1, то А есть центр средних расстояний между точками 0.

4. Найти положения равновесия тяжелой точки, которая движется без трения по винтовой линии на цилиндре вращения с вертикальной осью и притягивается одной из точек оси пропорционально расстоянию.

Ответ. Одно положение устойчивого равновесия.

5. Найти положения равновесия точки М, движущейся без трения по окружности радиуса а и подверженной действию силы, направление которой проходит через фиксированную точку А окружности и алгебраическое значение которой при положительном направлении, совпадающем с AM, равно

Ответ. Три положения равновесия: два, для которых AM = а, н одно, для которого АМ = 2а. Первые два устойчивы, а третье неустойчиво.

6. Дана сила F, проекции которой X, Y, Z зависят от х, у, г. Найти такую поверхность S, чтобы точка, движущаяся по ней без трения и подверженная действию силы F, находилась в равновесии в любом положении.

Ответ. Должен существовать такой множитель ц, чтобы

l>.iXdx + Ydy + Zd2) = df{x, у, г).

Искомые поверхности суть /(х, у, г) = const. Если существует силовая функция, то искомые поверхности являются поверхностями уровня.

6а. Точно так же найти кривые, на которых точка находится в равновесии в любом положении.

(Эти кривые всегда существуют. Они должны удовлетворять уравнению

Xdx + Ydy + Zde = Q,

которое позволяет, выбрав произвольным образом х w у в функции параметра q, определить затем г.)

7. Точка М, находящаяся под действием силы F, может скользить без трения по неподвижной кривой, координаты которой выражены в функциях параметра q. К этой кривой проведена касательная МТ в сторону возрастания q. Показать, что косинус угла TMF имеет знак функции, обозначенной через Q (п. 92). Отсюда вывести, что для устойчивости равновесия при q = qi необходимо и достаточно, чтобы функция Q обращалась в нуль, переходя от положительных значений к отрицательным, когда q достигает значение q и переходит через него.

8. Найти положения равновесия точки М, помещенной на наружную поверхность эллипсоида, если М отталкивается неподвижной точкой Р с силой, пропорциональной расстоянию. (Так как точка М может покинуть поверхность наружу, то необходимо принимать во внимание знак величины X. Если Р находится вне эллипсоида, то имеется одно положение неустойчивого равновесия. Если Р находится внутри эллипсоида, положений равновесия нет. Геометрически задача сводится к проведению из точки Р нормалей к поверхности. Затем следует сделать надлежащий выбор оснований этих нормалей.)

9. Точка, движущаяся по параболе у - 2рх = О, притягивается неподвижной точкой (а, Ь), лежащей в плоскости кривой, пропорционально расстоянию. Найти положения равновесия. Исследовать устойчивость. Имеем

A- = fA(a-x). K = fA(* -у). (х>0.



Ф (у) = (I,

и совпадающими со значениями, для которых функция -Ца-хГ- + (Ь-у)%

выраженная через у, имеет максимум или минимум. Равновесие устойчиво» если эта функция имеет максимум. •

10. К трем вершинам А, В, С треугольника прикреплены упругие нити, .длины которых в нерастянутом состоянии равны а, р, f. Нити растягиваются и связываются в узел. Предполагается, что сила упругости каждой нити пропорциональна удлинению, отнесенному к единице длины (например, если

X - удлинение первой нити, то сила упругости равна k - , где k одинаково

для всех трех нитей). Какие соотношения должны существовать между тремя длинами а, р, у, чтобы положение равновесия узла совпадало с центром тяжести треугольника?

Ординаты положений равновесия [основания нормалей, проведенных из (а, Ь)], являются значениями у, обращающими в нуль функцию



ГЛАВА VI РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

I. Приведение сил, приложенных к твердому телу. Равновесие

96. Твердое тело. Твердым телом называется совокупность материальных точек, неизменно связанных между собой. Если сила приложена к одной из этих точек, то говорят, что она приложена к телу. Определяемое таким образом твердое тело является абстракцией. Все естественные тела изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Но тела, называемые твердыми, настолько мало деформируются, что этой деформацией в первом приближении можно пренебречь, если только приложенные силы не слишком велики.

Согласно общим теоремам о равновесии произвольных систем для равновесия твердого тела под действием некоторых сил необходимо, чтобы эти силы составляли систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.

Но для твердого тела это необходимое условие является также и достаточным. Это можно доказать, допуская как очевидное следующее предложение:

Две приложенные к твердому телу равные и прямо противоположные силы находятся в равновесии.

Согласно этому предложению можно, не изменяя механического состояния твердого тела, приложить к нему или отнять от него две равные прямо противоположные силы.

Это предложение позволяет доказать, как мы это сделали в теории векторов (п. 19), следующее свойство:

Можно, не изменяя состояния твердого тела, переносить точку приложения любой силы вдоль ее линии действия, если только новая точка приложения неизменно связана с телом.

Следовательно, вектор силы, приложенной к твердому телу, связан с прямой, т. е. является скользящим вектором.

Мы покажем, как можно привести к простейшему виду совокупность приложенных к твердому телу сил и вывести отсюда необходимые и достаточные условия равновесия.

97. Приведение сил, приложенных к твердому телу. Равновесие. Согласно предыдущему, состояние тела не изменится, если выполнить следующие элементарные действия.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.7099