Главная Промышленная автоматика.

92) = /Xdx-\-Ydy-Zdz,

где во второй части все величины должны быть выражены через q и q- В частном случае, когда сила F имеет потенциал, будет иметь место равенство

jXdx-irYdy-Zdz = U{x, у, z)

при любых х, у, 2, И функция и (q, q будет существовать. Она получится из U{x, у, z) после замены координат их выражениями в функции q и 2- Поверхность уровня, проходящая через положение равновесия М, будет в общем случае касаться в этой точке заданной поверхности 5, так как сила в точке одновременно нормальна и к поверхности уровня, и к поверхности 5.

Мы покажем в динамике, что если в каком-нибудь положении движущейся точки функция U (q, q действительно имеет максимум i/j, то соответствующее положение равновесия устойчиво. Так же, как и для рассмотренного выше случая свободной точки, в этом можно отдать себе отчет, исследуя вид кривых на заданной поверхности 5. определяемых уравнениями

UUi ± е.

92. Точка, движущаяся без трения по неподвижной кривой.

Пусть задана неподвижная кривая С и на ней точка М, движущаяся без трения под действием сил, равнодействующая которых есть F. Так же, как и в случае точки, движущейся по поверхности, убеждаемся, что при равновесии сила F, если она не равна нулю, должна

сначала const, а затем 2 = const. Следовательно, уравнения

задачи будут

dqi dqi dqi

dq2 dq2 093

Величины X, у, z, которые зависят от положения точки М, будут функциями от Qi и и полученные уравнения относительно и q определяют значения параметров для положений равновесия. Интересен случай, когда выражение

Qi dqi + Qdq,

где Qi и Q2 - левые части написанных выше уравнений, есть полный дифференциал некоторой функции U (q, q). Тогда для нахождения равновесия нужно будет приравнять нулю частные производные и Q2 функции и, т. е. искать максимум и минимум этой функции двух независимых переменных q и q. Для этой функции можно написать




- уравнения кривой, отнесенной к трем прямоугольным осям, и X, У, Z - проекции равнодействующей F сил, приложенных к точке М{х, у, г). Для того чтобы выразить, что имеет место равновесие, достаточно написать. Рис. 66.

что сила F равна и прямо противоположна

нормальной реакции N. Эта последняя может быть всегда разложена на две другие, направленные по нормалям MN и MN" к двум поверхностям /=0 и /i = 0, пересечение которых определяет заданную кривую, так как все три направления MN, MN и MN" лежат в одной нормальной плоскости. Эти две составляющие MN и MN" реакции имеют соответственно проекции

.df .д/ .д/, , df, . dfx , dfx

Тх д Ш д7 isy- dl-

Так как реакция и сила F находятся в равновесии, то

Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют пять неизвестных х, у, г, X, Xj.

Можно упростить вычисления, если положить, что координаты точки кривой выражены в функции одного параметра q при помощи уравнений

x = 9i<J% .У = Ф(9). 2 = ш(9). Направляющие косинусы касательной пропорциональны производным (fiq), (Я) "(9). и условие равновесия получится, если приравнять нулю величину

Xiq) + yYiq) + Zm(q),

которую мы обозначим через Q. Каждому значению q, обращающему Q в нуль, соответствует положение равновесия. В рассматриваемом

быть нормальна к кривой. Если это условие выполнено, то сила F будет уравновешиваться сопротивлением кривой, и равновесие будет иметь место.

Действие кривой на точку выражается нормальной силой MN, которая называется нормальной реакцией. Точка М оказывает на кривую давление, равное и противоположное этой реакции. Если точка находится в равновесии, то нормальная реакция равна силе F, но противоположна ей, а давление точки на кривую есть сама сила (рис. 66).

Пусть

fix, у, z) = 0, fiix. у, z) = 0



случае отыскание положений равновесия всегда приводится к отысканию максимума и минимума функции., зависящей только от одной переменной. Положим

U(q)= f Xdx-Ydy-\-Zdz= Jq dq,

где в первом интеграле для того, чтобы он совпал со вторым, нужно .заменить величины х, у, г их выражениями через q. Условие равновесия получится, если отыскивать те значения q, которые обращают в нуль производную от и по q, т. е. если искать максимум и минимум функции и. Если существует силовая функция U (х, у, г), то функция и (q) получится, очевидно, заменой величин х, у, г их выражениями через q. В этом случае поверхность уровня, проходящая через положение равновесия М, касается в этой точке кривой. В дальнейшем, при помощи общего метода мы покажем, что действительным максимумам функции U (q) отвечают положения устойчивого равновесия. В виде упражнения (задача 7 в конце главы) мы укажем частный метод, позволяющий убедиться в справедливости этого предложения и основанный на том, что точка, предоставленная самой себе на кривой, стремится перемещаться по ней в сторону возрастания U.

П. Системы материальных точек

93. Система материальных точек. Если система состоит из свободных и независимых друг от друга точек, то для каждой из них может быть повторено все, что было сказано относительно совершенно свободной точки. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнодействующие сил, действующих на каждую из точек, были равны нулю.

Та же теорема справедлива и тогда, когда на систему наложены связи, если каждую точку рассматривать как свободную, добавляя к приложенным к ней силам реакции связей.

Этой точки зрения мы будем придерживаться ниже в связи с теоремой о возможной работе.

Сейчас мы разделим все силы, приложенные к системе, на две категории: на силы внутренние и силы внешние. Мы покажем, что для равновесия необходимо, чтобы внешние силы удовлетворяли шести условиям, одинаковым для всех систем.

94. Силы внутренние и силы внешние. Шесть необходимых условий равновесия. Любую материальную систему, образованную телами твердыми, жидкими или газообразными, можно рассматривать, как составленную из большого числа материальных точек, подчиненных некоторым связям. Так, например, твердое тело есть совокупность материальных точек, расстояния между которыми должны оставаться неизменными. Общие теоремы могут быть получены, если





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0035