Главная Промышленная автоматика.


находятся в области Вив этой области силы стремятся удалить движущуюся точку от точки Му, так как они направлены в сторону возрастания U. Следовательно, положение равновесия Му неустойчиво.

Этот последний случай представляется для точки, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний, что подробно рассматривается в теории притяжения.

90. Пример. Притяжения, пропорциональные расстояниям. Найти положение равновесия материальной точки, притягиваемой неподвижными центрами пропорционально расстояниям и массам притягивающих центров.

Пусть Pi, Рч, Рп (рис. 64) - неподвижные центры и nil, ....."п -

их массы. Силы притяжения Fi, F ...

Fn, действующие на материальную точку М, направлены по МРу, МР, ..., МРп, их величины равны соответственно

Fy=fmiMPi, Рч = 1тЖРь

FnfmnMPn, Pi . 6д[ 1/

где /-постоянная. (a,,bt,tiJ faz,h,Pz)

Пусть ai, by, ci, аз. *2. «2.....«п. „ ал

*n. Сп - координаты притягивающих 1ис. Ь4. центров, а х, у, z - координаты

точки М. Проекции силы Fj на оси координат равны проекциям соответствующих отрезков MPic, умноженным на /т. Следовательно, они равны

fmu(ait - x), fmu(bu - y), fmu(cu - z).

Отсюда для проекций равнодействующей получаем

X = fmk(ab-x), К = /2П&(*Ь-У). Z = ГУтч{ст,-г), (3)

где суммирование распространено на все силы, т. е. на все значения k = \, 2, .... п. Полагая

можем написать

Х = /(л(£-л:), }=/(ti-y), Z = U{~z).

Рассмотрим точку G с координатами т), С Она называется центром

масс системы масс Ру, Р.....Рп- Полученные только что уравнения

показывают, что равнодействующая сил, действующих на М, есть сила, которую можно получить, если всю систему притягивающих центров заменить единственной точкой G, полагая ее массу равной х. Равнодействующая направлена по MG и ее значение равно fiMG. Следовательно, равновесия не будет, если точка М не совпадает с центром масс G системы.

Мы предполагали, что величины mi, т, .... существенно положительны. Допустим теперь, что эти числа не являются больше массами, а лишь некоторыми коэффициентами, и предположим, что некоторые из них отрицательны. Это равносильно предположению, что соответствующие силы являются отталкивающими, так как проекции какой-нибудь из сил Fj




меняют знак вместе с mjc, и сила Fj{ меняет направление на обратное, когда /> делается отрицательным.

Если fi отлично от нуля, то приведенные вычисления сохранят силу, и мы придем к тем же результатам. Если а равно нулю, то три величины (3> не зависят от х, у, z, равнодействующая постоянна по величине и направлению и положения равновесия нет. Если, наконец, одновременно

(х = 0, тиатсО, 2= О, mj,Ck = Q,

то X, Y, Z равны нулю, каковы бы ни были х, у, z, и, следовательно, точка М находится в равновесии в любом положении.

В рассматриваемой задаче существует силовая функция U. В общем случае, когда (д. отлично от нуля, она будет

и = -[{-х.{-п~уУЛ-{!:,-гЩ=-Ш\

Если (Л. положительно, то эта функция равна нулю в точке G и отрицательна во всех остальных точках. Она, следовательно, имеет максимум в положении равновесия, которое вследствие этого устойчиво. Когда (д. отрицательно, имеет место обратное. Если (х равно нулю, то X; У, Z имеют постоянные значения fmak, fmkbbffnjeCjc, и силовая функция имеет вид

91. Точка, движущаяся без трения по неподвижной поверхности. Пусть дана неподвижная поверхность S (рис. 65) и на ней точка М, находящаяся под действием заданных сил, равнодействующая которых равна F. Для того чтобы точка находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эта равнодействующая F, если она отлична от нуля, была нормальна к поверхности. В самом деле, если сила не нормальна к поверхности, то ее можно разложить на две силы, из которых одна направлена по нормали и прижимает точку к поверхности, а другая лежит в касательной плоскости и заставляет точку скользить по поверхности. Равновесия, следовательно, не будет. Если в каком-нибудь положении М сила F нормальна, то равновесие будет иметь место при условии, что точка не может покинуть поверхность ни в ту, ни в другую сторону. Это - случай, наиболее часто встречающийся. Но если точка просто положена на поверхность, как какой-нибудь предмет положен на стол, то для равновесия недостаточно, чтобы сила была направлена по нормали; сила должна быть направлена еще в такую сторону, чтобы она прижимала точку к поверхности.

Если точка может скользить по поверхности без трения, то действие поверхности на точку выражается силой, которая не может оказывать никакого сопротивления скольжению, т. е. не может иметь никакой касательной составляющей. Эта сила, следовательно, нормальна к поверхности; она называется нормальной реакцией. Когда точка находится в равновесии, нормальная реакция равна и противоположна силе F, По закону равенства действия и противодействия



точка М оказывает на поверхность действие, равное и противоположное ММ, которое называется давлением точки на поверхность. Выразим все эти результаты аналитически. Пусть

fix, y,z) = 0

--уравнение поверхности в прямоугольных координатах и X, У, Z - проекции силы F. Проекциями нормальной реакции MN являются величины, пропорциональные направляющим косинусам нормали к поверхности, т. е. величины вида

Так как должно иметь место равновесие между этой реакцией и силой F, то должны выполняться условия

которые совместно с уравнением поверхности/(х, у, г) = 0 составляют систему четырех уравнений для определения х, у, z и X. Пусть М - точка поверхности, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям. Если материальная точка не может покинуть поверхность ни с одной, ни с другой стороны, то в этой точке будет равновесие. В противном случае необходимо приписать коэффициенту X определенный знак. Допустим, например, что точка может покинуть поверхность в ту сторону, где функция f(x, у, z) становится положительной. Тогда необходимо, чтобы сила была направлена в сторону, где функция / (х, у, z) отрицательна. Реакция будет направлена в противоположную сторону. Но вектор с проекциями

df 01 df дх ду dz

направлен относительно поверхности в ту ее сторону, где функция /(х, у, z) положительна, что вытекает из таких же соображений, какие .были сделаны в п. 83 относительно поверхностей уровня, если их применить к поверхностям /(х, у, z) = const. Так как реакция N должна быть направлена в ту же сторону, то X должно быть положительно.

В случае, когда точка не может оставить поверхность, вычисления могут быть упрощены следующим образом. Выразим прежде всего координаты точки поверхности в функции двух параметров и Пусть, например,

х= 9(91,2). .У = Ф (91.92). z = io(q„ q).

Для того чтобы имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы сила F была перпендикулярна к поверхности, т. е. к каждой из двух кривых, которые получатся, если положить последовательно





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0044