Главная Промышленная автоматика.

7. На точку М действует сила F, нормальная к неподвижной поверхности S. Обозначая через р расстояние от точки М до поверхности, отсчитываемое по нормали F, показать, что элементарная работа силы F равна ± Fdp, где знак + или - берется в зависимости от того, стремится ли сила увеличить или уменьшить расстояние р.

8. Взаимодействие двух точек с массами т и т, расположенных

на расстоянии г, равно г == -f-p-. где /-постоянная (закон всемирного

тяготения Ньютона). Как изменится множитель / при изменении единиц?

Ответ. Следует написать f= - F-во что обращаются F, г, т

и т при изменении единиц известно. Тогда / обратится в f--



ЧАСТЬ ВТОРАЯ

СТАТИКА

ГЛАВА V

РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ

I. Материальная точка

89. Свободная точка. Для того чтобы свободная точка была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая R приложенных к ней сил была равна нулю, т. е. чтобы проекции X, Y, Z вектора R были равны нулю:

-=0, F=:0. Z = 0. (1)

Если в каком-нибудь положении Ж{х, у, z) подвергнуть точку М действию силы R, не сообщая ей при этом никакой начальной скорости, то начальное значение R может зависеть только от х, у, z \i t. Мы будем предполагать, что от t оно не зависит. Тогда три уравнения (1) определяют координаты положения равновесия. Если существует силовая функция U (х, у, z), то проекции X, У, Z являются частными производными от U, и уравнения принимают вид

Это как раз те уравнения, которые необходимо разрешить при нахождении максимума и минимума функции: U от трех независимых переменных х, у, г. Мы покажем в динамике (гл. X) методом Лежен-Дирихле, что если функция U действительно имеет в точке У1 z максимум, то эта точка является положением устойчивого равновесия. Это означает, что если материальную точку каким-нибудь образом отклонить бесконечно мало от положения и сообщить ей бесконечно малую начальную скорость, то она получит движение, при котором она удаляется от положения бесконечно мало.

Приближенное представление об этом можно получить следующим образом. Допустим, что в точке My функция U имеет максимум, значение которого равно Uy. Вблизи точки функция U меньше чем Uy, и поэтому поверхность уровня будет

UUy - г,



где S - очень малая положительная величина, которая содержит замкнутую поверхность, окружающую точку Mi и непрерывно стягивающуюся в нее, когда s стремится к нулю (рис. 63, а). В каждой точке М этой поверхности сила нормальна к ней и направлена в сторону возрастания U, т. е. во внутрь. Она стремится, следовательно, помешать точке М удалиться от точки Mi.

Если, наоборот, в точке Mi функция U имеет минимум и теперь Ui есть значение этого минимума, то поверхность уровня

и = Ui-\-s (s - положительно)

будет по-прежнему содержать замкнутую часть, окружающую точку М. Теперь в каждой точке М этой поверхности сила по-прежнему нормальна к ней, но направлена наружу (рис. 63, б). Эта сила стремится, следовательно, удалить точку М от точки М и равновесие в точке Mi неустойчиво.


Рис. 63.

Допустим, наконец, что в положении Mi три уравнения (2) удовлетворяются, но что соответствующее значение t/j не является ни максимумом, ни минимумом функции U. Тогда в окрестности точки Ml существуют две области А и В (рис. 63, в) такие, что в одной из них, например в А, функция U принимает значения, меньшие чем Ui, а во второй В - значения, большие чем i/j. Эти две области разделяются поверхностью уровня S, на которой

U - Ui = 0.

Эта, особая поверхность уровня S, проходящая, очевидно, через точку Ml, имеет в ней коническую точку, так как, согласно (2), в ней одновременно обращаются в нуль все три частные производные первого порядка функции U - t/j. Если через s обозначить бесконечно малую положительную величину, то поверхности уровня

UUi - e

расположены в области Айв этой области силы стремятся вернуть движущуюся точку в положение М. Поверхности же

UUi-г





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0035