Главная Промышленная автоматика.

Работа равна, следовательно, приращению - Uq, которое получает функция и, непрерывно изменяясь при переходе системы из первого положения во второе.

Если и есть однозначная функция координат, то значения и Ux будут единственными. Полная работа .всех сил в этом случае совершенно не будет зависеть от способа перехода системы из одного положения в другое.

88. Примеры. 1°. Даны две точки Ж, и М,. Допустим, что действие точки Мх на точку выражается силой Fx, направленной по прямой МхМ. По закону равенства действия и противодействия действие точки на точку Ж выражается силой F, равной силе Fx, но направленной противо- положно (рис. 62). Совокупность этих двух сил называется взаимодействием двух точек. Условимся называть алгебраическим значением F взаимодействия двух точек величину силы Fx или F,, взятую со знаком плюс или минус, в зависимости от того будут ли точки г отталкиваться (как на чертеже) или притягиваться. Тогда, I обозначая через г расстояние Ж1Ж2, мы получим для проекций сил Fx и F значения

рх-хх Р У2-У1 р Z-Zx р.

г г /-

Xi--X2 р Ух-Уг р 1 -га р

г г г

Вычисляя сумму элементарных работ этих двух сил, называемую элементарной работой взаимодействия F, найдем

[(2 - Хх) (dx2 - dxx) + (У2 - Ух) (dy-dyx) + {г- Zx) (dz-dzx)].

Это выражение приводится к виду

в силу очевидных соотношений

Г2 = (Х2 - ХхУ + (2 - yif + (22 - Zxf.

rdr = (x-Xx) (dx-dxx) + (У2- Ух) (dy-dyx) + (23-21) (dz-dzx).

Если, следовательно, взаимодействие двух точек есть функция только расстояния г между ними, а именно F - <f (г), то сумма элементарных работ обеих сил Fi и будет полным дифференциалом функции

и== f <f(r)dr.



откуда с точностью до аддитивной постоянной

\ rs /-31 ~ /-13 /

Это значение U равно полной работе взаимодействий при переходе трех точек из положения, при котором они бесконечно удалены друг от друга, в положение, которое они действительно занимают.

Так, в частности, для двух точек, притягивающихся с силами, пропорциональными их массам ш щ л обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними

где /-постоянная, откуда

+const.

Предположим, что точки вначале были бесконечно удалены друг от друга, а затем приблизились на расстояние г. Тогда полная работа будет равна изменению функции V при переходе от первого поло-

2°. Пусть теперь дано произвольное число Точек М, jMj, • • •, Л1„. Допустим, что любые две из этих точек и М-) оказывают друг на друга взаимное действие, алгебраическое значение которого F есть функция только расстояния г между этими точками. Если системе сообщить бесконечно малое перемещение, то сумма элементарных работ всех этих взаимодействий, согласно предыдущему, будет равна

где суммирование распространяется на все попарные комбинации индексов i и k, причем i Ф k. Эта сумма является полным дифференциалом функции

U = jFidriu

и, следовательно, существует силовая функция. Например, для системы трех точек с массами щ, т, т, притягивающих друг друга по закону пропорциональности массам и обратной пропорциональности квадратам расстояний, получается



УПРАЖНЕНИЯ

1. Какова размерность работы относительно основных единиц длины, времени и массы? (Если взять единицу длины в X раз меньшую, единицу времени в х раз меньшую и единицу массы в (х раз меньшую, то работа Г будет (xX\-V.)

2. Точка М притягивается или отталкивается двумя центрами О и 0 по закону обратной пропорциональности квадратам расстояний. Найти силовую функцию и исследовать поверхности уровня

ОМ OiM J

3. Упругая нить, длина которой в нерастянутом состоянии равна /, прикреплена концом к неподвижной точке О и затем растянута до длины \ > I. Найти работу натяжения нити, когда она возвращается от длины X к первоначальной длине /. Допускается, что, когда нить имеет длину г, ее натяжение Т пропорционально удлинению:

T = k(r-l).

Ответ:

4. Пусть

f/ = Л arctg- + Barctg-- *

X °х-а

Исследовать значение полной работы вдоль замкнутой кривой С. (Эта работа имеет вид 2т%А-\-2г№В, где т и п - целые числа.) Если А В несоизмеримы, то кривую С можно провести таким образом, чтобы работа вдоль С сколь угодно мало отличалась от любой наперед заданной величины.

5. Оболочка ограничивает объем v газа, давление которого на поверхность оболочки равно р. Допуская, что р зависит только от v, показать, что полная работа давления газа на все элементы оболочки, когда его объем

pdv.

возрастает от Vq до Vi, равна

Ответ. Разобьем поверхность на бесконечно малые элементы, равные da; на каждый из этих элементов действует нормальное давление pda; когда объем увеличивается от v до v-dv, элемент da принимает положение da; если, следовательно, обозначить через е проекцию перемещения элемента da на нормаль к нему, то элементарная работа давления pda будет

равна da, и совокупность элементарных работ давления будет pjtda.

Но е da есть объем цилиндра, противоположными основаниями которого

служат da и da. Следовательно, Je do представляет собой приращение

полного объема. В таком случае совокупность элементарных работ равна pdv.

6. Сила F приложена к точке неизменяемой системы, которой сообщают элементарный поворот на угол 58 вокруг неподвижной оси Oz. Показать, что элементарная работа этой силы равна Nbb, где -момент силы F относительно оси Oz.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037