Главная Промышленная автоматика.

Так k9k р = х + и, следовательно, f df = х dx + у dy, то для элементарной работы получаем выражение

Xdx + Ydy + Zdz {х dx + у dy) = Ф df.

По предположению, Ф зависит только от р, и поэтому элементарная работа есть полный дифференциал функции U (р), равной

= J Ф dp.

Поверхностями уровня являются цилиндры вращения вокруг оси Oz.

3°. Наконец, существует силовая функция и для силы, направление которой постоянно пересекает неподвижную точку О и которая зависит только от расстояния движущейся точки до О (рис. 61, в).


Примем точку О за начало и пусть г - расстояние ОМ, а F-величина силы, которую мы будем считать положительной в направлении ОМ. Тогда проекции силы равны

F± fI- F -

и элементарная работа имеет вид F

- {х dx у dy + Z dz) = Fdr,

так как из соотношения x + y + z = после дифференцирования получим xdxу dyZ dz = г dr. По предположению F зависит только от г, поэтому элементарная работа есть полный дифференциал функции U (г), равной

Fdr.

Поверхностями уровня являются сферы с центром в точке О. В частности, если точка т притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то



В этом примере полная работа силы, когда точка переходит из бесконечно удаленного положения Мо в положение Mi, расположенное на расстоянии ri от притягивающего центра О, будет

r = f/i-f/o = -.

Все три предыдущих закона сил являются частными случаями следующего. На точку М действует сила, направленная по нормали MP к некоторой неподвижной поверхности S, и величина силы есть функция длины MP этой нормали. Тогда существует силовая функция, зависящая только от MP, и поверхности уровня параллельны поверхности S. Доказательство этого общего случая предлагается в качестве упражнения (упражнение 7).

4°. Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил указанных выше типов, то силовая функция по-прежнему существует. Это вытекает из следующей теоремы.

Если силы Fi и р2, действуя на точку по отдельности, имеют силовые функции Ux и Ui, то при одновременном действии этих сил будет также существовать силовая функция, равная Ui -f Uz-

В самом деле, пусть

у Ui у dUi dUi

-~дТ --дГ

- проекции первой силы,

dU2 у dU2 7 dU

- проекции второй. Проекции равнодействующей будут, очевидно,

у d(Ui + U2) у djUi + U) yHUi + Ul

что и доказывает высказанное предложение.

85. Замечание о поверхностях уровня. Если поверхности уровня определены только геометрически, а не их уравнением i/ = const, то закон силы полностью не определяется. В самом деле, пусть V{x, у, г)-некоторая функция, сохраняющая постоянные значения на поверхностях уровня. Тогда силовая функция будет непременно иметь вид

t/=cp(V),

где ср - произвольная функция, и для закона силы имеем:

Так как функция V произвольна, то мы приходим к выводу, что на одной и той же поверхности уровня сила определяется лищь с точностью др произвольного постоянного множителя. Например, из

где fJi - положительный коэффициент, так как сила, направленная в сторону МО, отрицательна. Тогда



того обстоятельства, что поверхностями уровня являются сферы с центром в точке О, следует, что сила пересекает точку О и является функцией расстояния от движущейся точки до точки О.

86. Мощность. Мощностью машины называют количество работы, которое она производит за единицу времени.

Единица мощности. В системе CGS единицей мощности является эрг/сек. Это - мощность машины, которая в секунду производит один эрг работы..

Лошадиная сила. В технической системе единицей мощности является лошадиная сила. Это - мощность машины, производящей в одну секунду 75 килограммометров работы.

II. Система точек

87. Работа сил, приложенных к системе точек. Силовая функция. Пусть на п точек MiXi, у. Zj), MiXz, Уг. z),-.-. •«(•п- Уп п) действуют силы, причем равнодействующая сил, действующих на первую точку, есть РуХ, Y, Z), на вторую - р2(Х2, Kj, Za), и т. д. Сумма элементарных работ сил Fj, F2, . .,F на бесконечно малом перемещении системы равна

X,dXi-{-Y,dyi-Z, dzi +

X2dX2+Y2dy2 + Z2dZ2+

+..........+

Когда силы зависят только от положения системы, т. е. когда Ху, Yy, Zj, Х2, Y2, Zj, ... являются функциями от х, у, г, Х2, У2, Z2, . •., у„, 2„ И выражение (1) есть полный дифференциал некоторой функции и переменных х, у, г, х, У2. Z2.....х„, у„, 2„.

то говорят, что данные силы имеют силовую функцию U. В этом случае

--Щ =W .....

Если система переходит из какого-нибудь положения Pq в какое-нибудь положение Р, то сумма полных работ всех сил F, F2.....F

определяется формулой

(pi)

§ f iXidXi-\-Yidyi-{-ZidZi-\-

+ Х2 dx2 + Y2 dy2 + Z2 dz2 + +..........4-

-hA-„dx„+F„d3/„ + 2„dz„)= / dU.

(Po)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0043