Главная Промышленная автоматика.

Г= fxdxydy-Zdz==f f(-.)dydx +

(.С) (S)

, (dZ dY\. . /дХ dZ\

где первый интеграл берется по кривой С, а второй - по поверхности 5. В силу самих условий, определяющих существование силовой функции, элементы двойного интеграла по поверхности 5 всюду равны нулю, вследствие чего Г = 0.

83. Поверхности уровня. Сделаем несколько важных замечаний, относящихся к случаю, когда существует силовая функция U.

Пусть М{х, у, г) - одно из положений материальной точки, а My - полупрямая, параллельная оси Оу (рис. 60). Проекция

силы г на эту полупрямую равна т. е. равна пределу отношения

когда ММ стремится к нулю. Здесь М - точка на полупрямой My и i/ -значение функции U в этой точке. Так как направление оси Оу может быть выбрано произвольно, то мы видим, что проекция силы Р на произвольное направление MD равна пределу отношения

U" - U

ММ"

когда ММ" стремится к нулю, где М" - точка на прямой MD, а U" - значение функции U в этой точке. Этот предел называется производной функции и по направлению MD.

Вообще, для случая, когда существует силовая функция, можно установить предложение, которое мы только выскажем, не вдаваясь в слишком пространные аналитические подробности.

Есла замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не пересекая при этом никакой точки, в которой функции X. У, Z перестают быть непрерывными и дифференцируемыми, то полная работа силы F на этой замкнутой кривой равна нулю.

Доказательство этого предложения может быть легко получено, если исходить из приводимой ниже формулы.

Когда кривая С стягивается в точку Р, то ее последовательные положения образуют некоторую поверхность S, на которой, по предположению, функции X, У, Z конечны, непрерывны и дифференцируемы. Справедлива следующая формула (формула Ампера-Стокса):



Поверхности, определяемые уравнением U{x, у. z)C.

где С-постоянная, называются поверхностями уровня. Изменяя непрерывным образом С, мы получим семейство таких поверхностей, причем через каждую точку области пространства, в которой определена функция и, проходит одна из этих поверхностей. Сила, действующая на материальную точку в каком-нибудь ее положении М, нормальна к поверхности уровня 5, проходящей через М, так как ее



Рис. 60.

проекции равны трем частным производным функции U или функции и-С. Более того, сила F направлена относительно этой поверхности в ту ее сторону, в которую функция U возрастает. В самом деле, пусть MN - нормаль к поверхности уровня U, направленная в сторону возрастания U. Проекция силы на эту нормаль совпадает с самой силой. Она будет положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли сила направлена по MN или в противоположную сторону. Так как эта проекция равна

где Mj - точка на MN, бесконечно близкая к М, то она положительна, ибо, по предположению, > U. Таким образом, сила направлена по нормали MN и ее величина F равна производной от функции и по этой нормали, что символически может быть обозначено следующим образом:



MM-L

84. Примеры. 1°. Сила, перпендикулярная неподвижной плоскости и являющаяся функцией расстояния от движущейся точки до этой плоскости, имеет силовую функцию. В самом деле, примем эту плоскость за плоскость ху (рис. 61, а). Тогда сила будет параллельна оси Oz, проекции X и Y будут равны нулю, а Z будет функцией только г: Z = <f (г). Элементарная работа, равная Z dz или у dz, является полным дифференциалом функции U. Поэтому

= J {z)dz.

Поверхностями уровня будут плоскости, параллельные плоскости ху. Так, например, если сила есть вес точки М, то, направляя ось г вертикально вверх, получим

Z - - mg, и = - mgz -Ь const.

2°. Сила, направленная по перпендикуляру, опущенному из точки М на неподвижную ось, и являющаяся функцией расстояния от точки до этой оси, имеет силовую функцию.

Примем эту ось за ось Oz и обозначим через р расстояние MQ от точки М до оси и через Ф - значение силы, считая ее положительной в направлении QM (рис. 61, б). Проекции этой силы будут

Х=Ф-, ¥=Ф-, Z=0. Р Р

Проведем поверхность уровня S, бесконечно близкую к S, со стороны возрастания U. Эта поверхность пересечет какую-нибудь нормаль MN в некоторой точке М. Так как U принимает на поверхности 5i постоянное значение U, то выражение

F = hm , MMi

в котором числитель постоянен для всех положений точки М на поверхности 5, показывает, что сила изменяется обратно пропорционально отрезку нормали к поверхности уровня 5, заключенному между этой поверхностью уровня и поверхностью уровня, бесконечно близкой к ней.

Поэтому распределение сил в рассматриваемом поле можно приближенно представить следующим образом.

Пусть S - постоянная, выбираемая тем меньшей, чем лучшим желательно получить приближение. Построим поверхности уровня

и=0. и = е, и2г, U = пг.....

и - &. и=-2е..... U = ~ke. ...

и припишем этим поверхностям номера О, 1, 2,..., п.....

- 1, -2, -к, . .. В точке М какой-нибудь из поверхно-

стей 5, имеющей номер р, построим нормаль в сторону поверхности S, имеющей номер и обозначим через точку пересечения этой нормали с поверхностью S. Тогда сила в точке М

направлена в сторону ММ и имеет приближенное значение F =





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [30] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041