Главная Промышленная автоматика.


Рис.

носе вектор будет оставаться геометрически равным самому себе, и, следовательно, его проекция на какую-нибудь ось не будет изменяться. При этом, однако, не будут изменяться и некоторые другие геометрические величины, связанные с этим вектором.

Рассмотрим произвольную точку В пространства (рис, 7) и построим треугольник ВАВ, имеющий верщину в точке В, а основанием - вектор Pi. Если

вектор будет сколь-

зить вдоль прямой Dj, то не будут изменяться следующие элемента:

1°. плоскость треугольника ВАВ, являющаяся плоскостью, образованной прямой Di и точкой В,

2°. площадь треугольника BABi,

3°. направление, в котором точка, движущаяся вдоль вектора от Л, к Bi, поворачивается вокруг В в плоскости BD.

Можно заметить, что если рассматриваемую фигуру спроектировать на какую-нибудь плоскость Q в фигуру bOibi, то аналогичные элементы в треугольнике ЬаЬ не изменятся при скольжении вектора Р, вдоль прямой Dj.

Для уяснения этих обстоятельств вводятся следующие определения.

9. Теория моментов. 1. Момент вектора относительно точки (или векторный момент). \ Момент вектора Pj относительно какой-нибудь точки В (рис. 8) есть вектор BG, приложенный в точке В и имеющий: 1) модуль, равный произведению Pi • S модуля вектора Р, на расстояние S от точки В до этого вектора, 2) линию действия, перпендикулярную плоскости ВАРу, 3) направление такое, что точка, перемещающаяся по Л1Р1 от Л1 к Рр поворачивается вокруг ВО в положительном направлении.

Модуль этого момента равен удвоенной площади треугольника ВАР. Он равен нулю тогда, когда либо Рр либо 8 равно нулю. Момент не изменяется, когда вектор Pi перемещается вдоль своей линии действия, или когда точка В перемещается вдоль прямой, параллельной этому вектору.


Рис. 8.

Пример. Векторное произведение о = РУС Р4, определение которого дано в пункте 7, равно моменту вектора Pj относительно конца вектора Р (рис. 6). Наоборот, векторное произведение Р X Pi равно моменту вектора Р2 относительно конца вектора Pj.



2. Момент относительно оси. Этот момент есть число положительное, отрицательное или равное нулю. Его называют иногда скаляр-ним моментом относительно оси в противоположность векторному моменту относительно точки. Определяется он следующим образом: момент вектора Р, относительно некоторой оси Д (рис. 9), на которой выбрано положительное направление, есть алгебраическое значение проекции на эту ось момента вектора относительно точки, взятой на оси.

Чтобы такое определение имело смысл, необходимо показать, что значение момента не зависит от выбора точки на оси. Проведем через какую-нибудь точку В оси плоскость П, перпендикулярную оси, и пусть OiPi - проекция

вектора АР на эту плоскость,

SGj-момент вектора Pj относи- Рис. 9.

тельно точки В и 5gi - проекция

5Gi на ось Д. Так как угол между плоскостями АВР и aBpi равен углу между перпендикулярами к ним, то

2 площ. а<Врх = 2 площ. АВР cos ОiBg, Вgi = BGi cos GiBg.


Но так как модуль BG момента BOj равен удвоенной площади АфР, то его проекция Bg равна по абсолютному значению удвоенной площади aBpi, а последняя величина не зависит, очевидно, от выбора точки В на оси Д. Знак проекции Bg также не зависит от выбора точки В и будет -f- или - в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль АР, вращаться вокруг Д в положительном или в отрицательном направлении.

Можно вывести несколько различных выражений для момента вектора Pj относительно оси.

Обозначим через 8 кратчайшее расстояние между вектором и осью, а через 6 - угол между ними. Проекция отрезка 8 на плоскость П равна самому отрезку, а величина pi равна Pi sin 6, и поэтому момент Tti относительно оСи Д будет

2)ii=- ±/7i8= ± Pi8sin6,

причем знак или - берется в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль iPi, поворачиваться вокруг оси Д в положительном или в отрицательном направлении.



Отложим на оси Д в положительном направлении отрезок BP, длины Рг и обозначим объем тетраэдра, имеющего АР, и ВР в качестве противоположных ребер, через объем (Р, Р. При этом он принимается положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся от начала к концу одного из векторов Pj или Р, поворачиваться вокруг другого вектора в положительном или в отрицательном направлении. Тогда момент вектора Pj относительно Д будет

5Y,j 6 объем. (Pi, Р9)

JJCi- .

В самом деле, это равенство справедливо по знакам и по абсолютным значениям, так как рассматриваемый объем не изменится при перемещении вершин А и Ру до положений Оу и р, что приведет к новому тетраэдру, объем которого V равен одной трети произведения Pg площадь аВр; поэтому, абсолютное значение момента, равное удвоенной площади аВр, равно величине 6V, деленной на Pg.

Примечание. Из формулы = ± Pi8sin6 вытекает, что момент равен нулю, когда один из трех множителей равен нулю, т. е. когда вектор либо равен нулю, либо лежит в одной плоскости с осью.

10. Аналитические выражения моментов вектора относительно осей координат. Пусть дан вектор Pi с началом в точке и с концом в точке В (рис. 1). Обозначим через х, у у, координаты его точки приложения и через Х, Y, его проекции на оси Ох, Оу, Oz. Момент вектора относительно оси Ог равен удвоенной площади проекции треугольника ОАВ на плоскость хОу, причем этой величине площади приписывается знак согласно установленному ранее правилу. Но одна из верщин проекции совпадает с точкой О, а две другие имеют в плоскости хОу координаты;

проекция точки Ау-. х, у, проекция точки В: Xi-\-Xi, >i + Ki.

Согласно элементарной формуле для площади треугольника, имеющего верщину в начале координат, получим

= X, {у, + Fi) - у, {X, + Xi) x,Y, - у,Х,.

Точно так же для моментов и вектора относительно осей Ох и Оу получится:

Li = yiZi - zJi, 1 = 2,1 -XiZi.

Определение векторного момента. Момент OGy вектора Р относительно начала О есть вектор, имеющий проекции на оси коор-





0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004