Главная Промышленная автоматика.

"±1

§=fW(q)dq,

которая и позволяет вычислить IT.

Если ту же самую кривую точка пробегает в противоположном направлении, от к Mq, то полная работа станет равной -<!Г, так как пределы интегрирования поменяются местами.

82. Частный случай, когда IT зависит только от начального и конечного положений. Силовая функция. Потенциальная энергия. Допустим, что X, Y, Z являются функциями от x, у, z, непрерывными и допускающими частные производные первого порядка во всех точках области пространства, в которой расположены все

рассматриваемые кривые. Выясним, какими должны быть функции

Х(х, у, z), Y(x, у, z), Z(x, у, z)

для того, чтобы полная работа на конечном перемещении зависела только от начального и конечного положений к Ml к не зависела от формы кривой, по которой перемещается точка. Рис 57 Возьмем сначала две бесконечно

близкие точки Mq и М, лежащие в плоскости, параллельной ху (рис. 57), причем координаты точки Мд равны x, у, z, а координаты точки М равны x-\-dx, y-{-dy, г. Переведем движущуюся точку из положения Жо в положение М, перемещая ее сначала параллельно оси Ох на отрезок длиною dx в положение М, а затем параллельно оси Оу на отрезок dy в положение Му. Элементарная работа на перемещении ММ равна Х{х, у, z)dx. В положении М сила будет иметь значение F и проекцию на ось Оу, равную Y(x-\-dx, у, z). Элементарная работа силы F на перемещенииММ равна, следовательно, Y(x-\-dx, у, г)йу. Отсюда для полной работы на перемещении МММ получаем

Ш = Х{х. у, z)dx-\-Y{x-{-dx, у, z)dy.


случае можно выразить координаты точки М кривой С в функции некоторого параметра q, изменяющегося от до q, когда точка описывает дугу ММ, так что

x = <fiq), y = <(q), z = m(q).

Компоненты X, Y, Z, завися только от х, у, z, будут вдоль кривой С некоторыми функциями от q. Поэтому, подставляя в интеграл (1) выражения х, у, z к получающиеся из них выражения для dx, dy, dz, получим для него формулу



Если сначала переместить точку параллельно Оу на отрезок dy в положение М", а затем параллельно Ох на отрезок dx из М" в Му, то для работы получим

Г = Г(х, у. z)dy + X(x, y + dy. z)dx.

Мы желаем, чтобы оба эти значения оГ были равны. Приравнивая их и замечая, что

Yixdx, у, z)=Yix, у. z) + dx. Х{х, y + dy, z)=X{x. у, z) + dy.

после очевидных преобразований получим

дУ дХ дх~ ду •

Поступая аналогичным образом в плоскостях, параллельных другим координатным плоскостям, получим два других необходимых условия

dZdK дХ dZ ду дг дг дх

Эти условия показывают, что выражение

Xdx + y dy-Zdz

есть полный дифференциал некоторой функции U независимых переменных x, у, г. Покажем, что эти условия являются также и достаточными, по крайней мере при некоторых ограничениях, которые мы укажем.

В самом деле, если эти условия выполнены, то будет существовать тождество

Xdx-}-Ydy-Zdz = dU{x, у. z), из которого вытекают три других:

v- v

Функция и, определенная с точностью только до произвольной аддитивной постоянной, называется силовой функцией. Говорят также, что в этом случае силы имеют потенциал; величина -U называется потенциальной энергией.

Полная работа силы F, когда точка переходит из Mq в Mi вдоль кривой С (рис. 58), будет тогда

(Ж,) (Ж,)

J Xdx + Ydy + Zdz= f dUU-UQ, (ДГ„) W




где Ui - конечное значение, которое принимает функция U в положении Ml при непрерывном ее изменении вдоль кривой, а Uq - начальное значение функции U в положении М.

Следовательно, если в рассматриваемой области пространства U является однозначной функцией от х, у, z, имеющей единственное значение в каждой точке этой области, то Uq и Ui будут вполне определенными и полная работа IT не будет зависеть от пути, по которому точка переходит из Mq в Mi- В частности, если точка описывает замкнутый путь, то Ml совпадает с Mg и тогда полная работа равна нулю.

Но если функция U является многозначной, как, например, арктангенс, то полная работа не будет абсолютно не зависящей от пути перехода точки из Мо в Ml. Она будет меняться в зависимости от того, какое из значений U мы должны будем в силу непрерывности принять в точке Му, когда будем исходить из определенного значения Uq в точке Mq. Можно также сказать, что в этом случае полная работа по замкнутому контуру не будет обязательно равна нулю. Эти два способа выражения будут, впрочем, идентичны, так как, если рассмотреть два пути С и С из Mq в и обозначить через Г и Г полную работу на конечных перемещениях MqCM и MqCMi, то полная работа на замкнутом перемещении MoCMiCMf, будет равна оГ - §. Следовательно, если § - то полная работа равна нулю, а если gT Ф то не равна нулю.

Рис. 58.

Пусть, например, U = arctg силы F, равные

д:2 + у. •

jc2 + ya

Проекции

Z = 0,


Рис. 59.

являются непрерывными дифференцируемыми функциями во всей части пространства, расположенной вне кругового цилиндра сколь угодно малого радиуса, ось которого совпадает с осью Oz (рис. 59). Функция U есть угол хОР, образованный осью Ох с проекцией ОР радиуса-вектора ОМ на плоскость ху. Поэтому, если движущаяся точка описывает замкнутую кривую МСМ, не окружающую ось Ог, то полная работа равна нулю, так как функция и при непрерывном изменении вдоль контура С принимает в точке М свое первоначальное значение. Но если точка описывает замкнутую кривую МСМ, окружающую один раз в положительном направлении ось Oz, то изменение функции U будет равно 2л, и полная работа будет также равна 2л. Если точка совершит вокруг оси Oz в положительном направлении л оборотов, то полная работа будет равна 2п%.

Эти соображения указаны Бертраном (Journal de IEcoIe Polytechnique, вып. 28).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038