Главная Промышленная автоматика.


ГЛАВА IV РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

Прежде чем излагать статику, целесообразно ввести понятие первостепенной важности о работе силы.

I. Материальная точка

77. Элементарная работа. Пусть к материальной точке М приложена сила F. Допустим, что эта точка получает какое-нибудь бесконечно малое перемещение ММ (рис. 55). Тогда элементарной работой силы F на перемещении ММ называют ска-

лярное произведение F на ММ:

F ММ cos (FMM), (1)

т. е. произведение силы на перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Эта элементарная работа является алгебраической величиной, положительной, отрицательной или равной нулю, в зависимости от того, будет ли угол FMM острым, тупым или прямым. Когда элементарная работа положительна, силу называют движущей, а когда отрицательна - сопротивлением. Если перемещение ММ совершается за бесконечно малый

промежуток времени dt, то скорость v этого перемещения равна-,

и выражение (1) элементарной работы может быть представлено в виде

Fvcos(F, V) dt, (2)

так как угол между силой и скоростью совпадает с углом между силой и перемещением.

Элементарная работа, которая может быть написана также в виде

ММ [Fcos{FMM)],

равна произведению перемещения ММ материальной точки на проекцию силы на направление перемещения. Если к точке М приложено несколько сил, то работа равнодействующей этих сил на каком-нибудь перемещении равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении. Это вытекает из того, что



мулой (3) п. 3 для скалярного произведения двух векторов.

79. Полная работа. Единица работы. Допустим, что точка М совершает конечное перемещение из положения в положение My вдоль какой-нибудь кривой М (рис. 56) по какому-нибудь закону движения. В положении М точка находится в момент о, а в положении М-х - в момент ty. Пусть Рис 5g к точке М приложена сила F.

Тогда полной работой силы F на рассматриваемом конечном перемещении называется сумма элементарных работ силы F на всех бесконечно малых последовательных перемещениях, из которых складывается конечное перемещение. Таким образом, дуга ММ разбивается на бесконечно малые


проекция равнодействующей на направление перемещения равна сумме проекций составляющих. Если работу написать в виде

F [ММ co5{FM%

то ее можно определить как произведение силы на проекцию перемещения на направление силы. Следовательно, если перемещение ММ есть геометрическая сумма нескольких перемещений, или если скорость точки есть геометрическая сумма нескольких скоростей, то элементарная работа силы F, соответствующая результирующему перемещению или результирующей скорости, равна сумме элементарных работ силы F, соответствующих составляющим перемещениям или составляющим скоростям.

Если элементарная работа какой-нибудь силы равна нулю, то либо перемещение равно нулю, либо сила равна нулю, либо сала перпендикулярна к перемеиению.

78. Аналитическое выражение элементарной работы. Пусть х, у, г - координаты точки М относительно трех прямоугольных осей, x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz - координаты бесконечно близкой точки М и X, Y, Z - проекции силы F на эти оси. Направляющие косинусы силы F и перемещения ММ равны

Х У dx dy dz

F F • F • MM MM MM

Вычисляя cos(FMM), мы получим следующее выражение элементарной работы в прямоугольных декартовых координатах:

F ММ cos (FMM) = XdxY dyZdz. Эту формулу можно получить непосредственно, пользуясь фор-



части MqM, ММ", ... и вычисляется сумма

ir = lim [Ро • МоМ cos(/VVM)+/" • ММ" cos(/VWM")+.. .1,

где Р(, - значение силы Р, приложенной к точке, когда точка находится в положении М, Р - значение этой силы, когда движущаяся точка находится в положении М . .. Сумма оГ и есть полная работа силы Р. Ее можно вычислить с помощью интеграла

(Ж.)

= j Xdx+Ydy + Zdz, (1)

(Ж„)

выражающего сумму элементарных работ. Например, если Р всюду нормальна к траектории, то все элементы суммы равны нулю и работа обращается в нуль.

Единица работы. Если основные единицы выбраны, то полная работа единичной силы, приложенной к точке, совершающей перемещение в единицу длины вдоль направления силы, получается равной единице. Эту работу и принимают за единицу работы. Например, если за единицу силы принята килограмм-сила, а за единицу длины метр, то полученная единица работы будет килограммометр. В системе CGS единица работы называется эргом.

Для вычисления § полезно рассмотреть несколько частных случаев.

80. Сила зависит от времени или скорости. В наиболее общем случае, который может представиться, сила зависит от положения точки, от ее скорости и от времени, так что X, Y, Z являются заданными функциями переменных

dx dy dz ,

У -Ж-Жчг " -

В этом случае для вычисления оГ надо знать движение точки из в Му, т. е. знать выражения

ее координат в функции времени. Тогда, подставляя эти выражения х, у, Z, а также получающиеся из них дифференцированием выражения

~Ж ~dt Ж определенный интеграл (1), приведем его к виду

<

Ш= (t)dt,

который и позволяет вычислить оГ.

81. Сила зависит только от положения движущейся точки.

В этом случае для нахождения f достаточно знать только кривую С, по которой движуиаяся точка перемещается из в Му. При этом нет необходимости знать закон, по которому точка перемещается по кривой, так что вычисление полной работы приводится к задаче геометрии. Действительно, в рассматриваемом





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037