Главная Промышленная автоматика.

а переносная скорость той же точки имеет проекции (п. 51)

Vi + qz-ry. Vl + rx - pz, Vl+py - qx. (У,>

Абсолютная скорость этой же точки, равная геометрической сумме скоростей и V, имеет проекции

Vax = +n + qz-ry.

ay=% + vt + rx-pz,

Vcu- + V.+py-qx.

Ускорение. Для получения проекций абсолютного ускорения точки М на оси Охуг достаточно обратиться к определению ускорения при помощи годографа (п. 41). Через некоторую неподвижную точку А проведем три оси Ах, Ау, Az, параллельные осям Ох, Оу, Ог, и отрезок Л, равный и параллельный абсолютной скорости Vq точки М. Искомое ускорение У„ равно и параллельно абсолютной скорости точки т. Но эта точка т имеет относительно осей Ахуг координаты

Скорость начала А равна нулю и мгновенное вращение триэдра Ахуг совпадает с мгновенным вращением параллельного триэдра Охуг. Следовательно, проекции на Ахуг или Охуг абсолютной скорости точки т, согласно формулам, аналогичным (3), равны

dx, ,

-+ЯЧ - гУх----

Поэтому для проекций абсолютного ускорения У„ имеем:

dVg.

-гУах-Poz -Pay - qax-

доказать теорему

Эти формулы позволяют другим путем Кориолиса.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти траекторию движущейся точки, зная, что она плоская и что касательная и нормальная составляющие ускорения постоянны.

Ответ. Отсчитывая время от надлежащим образом выбранного момента и дугу S траектории от надлежащим образом выбранного начала, найдем



компоненты ускорения - d4

dt dt

dt"-

\dt) r dt\ dt I

3. Точка описывает лемнискату

г2 = 2а2 cos 26

с постоянной по величине скоростью а. Выразить координаты точки в функции времени и вычислить ускорение. (Эта задача предполагает знакомство с эллиптическими функциями.)

Ответ. Пусть s - дуга кривой, отсчитываемая от точки, для которой 6 = 0. Тогда

2а-dr

откуда

aY2 У(2а2 + г2)(2а -гз)

г = а cnt, cos 6 = dnt, sin 6 = snt,

где модуль эллиптических функций равен "ij- Отсюда непосредственно

найдутся X и у в функции времени.

4. Показать, что при движении твердого тела в заданный момент времени:

а) геометрическое место точек тела, скорости которых пересекаются в заданной точке, есть пространственная кубическая кривая;

б) геометрическое место направлений этих скоростей есть конус второго порядка;

в) геометрическое место точек, скорости которых равны по величине, есть цилиндр вращения вокруг мгновенной винтовой оси (Шаль).

5. Те же вопросы для ускорений.

6. При движении твердого тела плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих в одной плоскости, проходят через одну точку. Плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих на одной прямой D, проходят через одну прямую Д. Плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих на поверхности порядка т, огибают поверхность класса т (Шаль). (Эти свойства непосредственно вытекают из свойств плоскостей и их фокусов, указанных в п. 17.)

7. Плоскости, перпендикулярные к траекториям двух произвольных точек а я b тела, пересекают мгновенную винтовую ось D в двух точках а и р, являющихся основаниями перпендикуляров, опущенных из а и А на указанную ось, так что

ap = a6cos(a6, D) (Шаль),

8. Если скорости, которыми обладают в один и тот же момент времени различные точки тела, рассматривать как бесконечные прямые, то они

где р - радиус кривизны, а и Ь - постоянные. Траектория - логарифмическая спираль.

2. Плоское движение определено двумя уравнениями, выражающими полярные координаты гиб движущейся точки в функции времени. Требуется найти либо непосредственно, либо при помощи теории относительного движения компоненты скорости и ускорения по радиусу-вектору и по перпендикуляру к нему.

Ответ. Компоненты скорости -

dr db г



образуют комплекс второго порядка, конические сечения которого являются" параболоидами (задача, аналогичная задаче 8 предыдущей главы).

9. В движущемся твердом теле скорости различных точек в момент t проектируются на плоскость, перпендикулярную к центральной оси. Показать, что эти проекции перпендикулярны к прямым, соединяющим проекции точек на эту же плоскость с точкой ее пересечения с центральной осью.

10. Построение мгновенной винтовой Оса по Понселе. Через произвольную точку О пространства проводят три вектора 0V, 0V, 0V", равных скоростям трех точек тела М, М, М". Мгновенная винтовая ось перпендикулярна плоскости ж трех точек V, V, V". Пусть т и т - проекции на эту плоскость двух из этих точек, М и М, а mv а mv - проекции их скоростей. Перпендикуляры, восставленные в точках т п т к mv н mv, пересекаются в точке встзечи оси с плоскостью п. Ось таким образом определена.

11. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. Показать, что если мгновенная ось занимает постоянное положение в теле, то она занимает также постоянное положение и в пространстве, и движение является вращением вокруг неподвижной оси.

Обратно, если мгновенная ось неподвижна в пространстве, то она неподвижна также и относительно тела.

12. Рассмотрим пространственную кривую, отнесенную к неподвижным осям ОхХхуг, и движущуюся по ней точку О, координаты которой являются заданными функциями дуги s. Предположим, что движение точки О определяется уравнением s = и рассмотрим прямоугольный триэдр Охуг, образованный касательной Ох, направленной в сторону движения, главной нормалью Оу, направленной в сторону радиуса кривизны р, и бинормалью Ог.

а) Найти проекции р, q, г мгновенного вращения подвижного триэдра на подвижные оси.

Ответ.

р = -i , q = 0, г = (т - радиус кручения)

б) Найти уравнения мгновенной винтовой оси.

13. Показать, воспользовавшись предыдущими результатами, что если = const, то кривая является винтовой линией, проведенной на произвольном цилиндре (Бертран).

[Рассмотреть вспомогательный триэдр Охуг с неподвижной вершиной и с ребрами, параллельными подвижным осям Охуг. Если = const,

то мгновенная ось вращения этого нового триэдра будет неподвижна относительно его и, следовательно, неподвижна в пространстве (задача 11), а касательная Ох образует с направлением этой неподвижной оси постоянный угол.]

14. Прямая АВ пространства связана с неподвижной осью Oz, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью со. Твердое тело С, связанное с прямой АВ, вращается вокруг нее с той же относительной угловой скоростью со.

Найти для этого тела мгновенную винтовую ось, неподвижную линейчатую поверхность и подвижную линейчатую поверхность

15. Круглый цилиндр С катится внутри круглого цилиндра С вдвое большего радиуса и одновременно скользит параллельно образующей, причем так, что одна из точек цилиндра С описывает неподвижную прямую, обязательно пересекающую ось цилиндра С

Показать, что в этом движении все другие точки тела описывают эллипсы.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [23] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0058