Главная Промышленная автоматика.

Точка М имеет также переносные скорость и ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны

da , da{ , daa

dt dt dt

2 /,

dt dt dt dr2 df dfi

dfi df-y df-

iVe)

df ~ df dt

(Je)

Эти формулы получаются, если рассматривать х, у, г как постоянные, так как переносными скоростью и ускорением точки М называются скорость и ускорение, которые имела бы эта точка, если бы она была неизменно связана с подвижными осями.

Дифференцируя формулы (1) по t, мы получим аналитическое выражение теоремы, доказанной ранее (п. 45): абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной скорости и переносной скорости.

После второго дифференцирования формул (1) получим

dt"- ~"

ах d"-y dt"- dt"-

«2

ld"-Xo

dt"-

dt"-)

(da dx -{dtlt

da-i

dt dt

dydd. 2)

и две аналогичные формулы для вторых производных величин у и г,.

Для уяснения смысла этих равенств рассмотрим вектор /, имеющий начало ц точке М и следующие проекции на неподвижные оси:

- \dt dt

/c)ld dx У ~ \dt dt

da dx dai dy .da dz

dt dt

dt dt

dt dt dt dt)

/ - o/ l yd-i2dz\ - \dt dt dt dt dt dt)-

Этот вектор называется добавочным ускорением. Уравнения (2) показывают, что проекция вектора J„ на каждую из неподвижных осей равна сумме проекций 7 Л " J на ту же ось, т. е. что вектор есть геометрическая сумма векторов У- Л " -1•



Следовательно, абсолютное ускорение есть результирующая относительного ускорения, переносного ускорения и добавочного ускорения.

Остается найти простое истолкование вектора /. С этой целью найдем проекции вектора / на подвижные оси. Очевидно,

имеем

Система отсчета (S), относительно которой рассматривается относительное движение, представляет собой движущееся твердое тело или неизменяемую систему. На основании полученных ранее результатов мы знаем, что скорости ее различных точек в рассматриваемый момент будут такими же, как если бы эта система совершала поступательное движение и мгновенное вращение ш

с проекциями р, q, г на подвижные оси, причем


„ Г2

I /У/ -

При помощи этих ходим:

формул сразу на-

/ dz ( dt

dz P dt

[pit

dx Ч dt

Рис. 50.

динаты

dy dz

Рассмотрим точку (рис 50), имеющую в подвижных осях коор-

е. координаты конца вектора OVr

dt • dt dt

с началом в точке О, равного и параллельного относительной скорости V;.. Тогда проекции / на оси х, у, z равны удвоенным проекциям скорости, которую будет иметь эта точка Vr, если угол mOVr, предполагаемый неизменяемым, будет вращаться с угловой скоростью О) вокруг От, как вокруг неподвижной оси. Следовательно, вектор / по величине и направлению равен удвоенной этой скорости, т. е. удвоенному моменту вектора ш относительно точки Vr. Этот вектор приложен в точке М. Более подробно его можно определить так: вектор / перпендикулярен плоскости шОУ мгновенной оси и относительной скорости; он равен по величине



удвоенному произведению ш на расстояние от точки Vr до оси Ош, т. е. 2u)Vsin(o), Vf); наконец, он направлен по отношению к плоскости mOVr в ту сторону, куда мгновенное вращение ш стремится повернуть конец V вектора OV, параллельного относительной скорости. Итак, имеем:

(Va) = (Vr) + (Ve). Ua) = Ш + (Л) + (/)•

Вектор / обращается в нуль, если один из трех множителей: (о, или Vr, или sin(o), Vr) - обращается в нуль. Наиболее важными являются следующие случаи.

60. Поступательное движение подвижных осей. Сложение движений. Если ш все время равно нулю, то и добавочное ускорение будет все время равно нулю. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы подвижные оси перемещались поступательно. Абсолютное ускорение У„ будет тогда результирующим вектором относительного ускорения Jr и переносного ускорения Jg.

Этот частный случай относительного движения носит название сложения движений. Для определения поступательного движения подвижных осей, которые можно тогда предполагать параллельными неподвижным осям Рис. 51.

(рис. 51), достаточно определить движение одной точки О подвижной системы отсчета, что может быть сделано заданием изменения вектора 0,0 в функции времени. Относительное движение точки М определяется изменением вектора ОМ. Абсолютное движение точки М, определяемое изменением результирующего вектора ОМ, называется результирующим двух первых движений. Согласно предыдущему скорость и ускорение в этом движении равны геометрическим суммам скоростей и ускорений составляющих движений.

61. Общие формулы для скорости и ускорения точки, отнесенной к подвижным осям. Допустим, что подвижный триэдр Охуг совершает известное движение. Обозначим, как и выше, через Vx, Vy, V" проекции абсолютной скорости V" начала О на подвижные оси, а через р, q, г-компоненты мгновенного вращения триэдра Охуг относительно тех же осей.

Скорость. Рассмотрим точку М, имеющую относительно осей Oxyz координаты х, у, z. Относительная скорость V точки М относительно триэдра имеет на подвижные оси проекции

- dy dz


dt dt •





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0046