Главная Промышленная автоматика.


являющуюся аналитическим выражением скалярного произведения двух векторов и позволяющую определить косинус угла между ними.

Условие перпендикулярности двух векторов. Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между ними равнялся нулю. Таким образом, в прямоугольных осях получаем условие

ВД+К1К2 + ад = 0. (4)

Скалярное произведение двух векторов и мы будем обозначать символом Pi • Pg-

Другие названия и обозначения. Дж.-В. Гиббс (Vector Analysis, New York et Londres. 1902) употребляет для определения скалярного произведения название прямое произведение двух векторов; О. Хэ-висайд (Electromagnetic Theory) - название скалярное произведение и М. Карвалло - алгебраическое произведение. Были предложены и различные обозначения: наиболее простым обозначением скалярного произведения является запись в виде Р \ Pj. Имеем Р Р = Pj Р. Проекция вектора на ось есть скалярное произведение этого вектора на вектор, численно равный +1 и имеющий данную ось своей линией действия.

4. Геометрическая сумма произвольного числа свободных

векторов. Пусть заданы векторы (рис. 3) Pj, Pj.....Рп- Возьмем

произвольную точку А за исходную и построим последовательно систему векторов, геометрически равных заданным векторам, а именно: сначала построим вектор АС. равный Pj, в конце его - вектор CjCg, равный Pj, затем вектор CjQ. равный Р3, .. . и, наконец, вектор C„ iC„, равный Р„. Вектор ЛС„ за- •

мыкает полученный таким

образом многоугольник. Он называется геометрической суммой R заданных векторов, а заданные векторы составляющими.

Легко убедиться, что геометрическая сумма не зависит от порядка, в котором берзтся составляющие векторы.

Для обозначения того, что вектор R является геометрической суммой векторов Pj, Pj.....Р„, мы будем писать:

/? = Pl + P2+ ... +Р„ или (P) = (P,) + (PJ+- ... +(PJ.

Проекции геометрической суммы векторов. Пусть Xj, Kj. Z,,

Х2, Yz, 2..... п - проекции векторов Р Pg.....Р.

а X, Y, Z - проекции их геометрической суммы R. Согласно теореме о проекциях, проекция вектора R = ЛС„ на произвольную



ось равна сумме проекций сторон многоугольника ЛС,С2 ... С„,. т. е. сумме проекций составляющих векторов. Таким образом, имеем

(ХХ, + Х,+ ... +х.

rI К=У, + К2+ ...

, Z = Z,+Z2+ ...

Равенство векторной суммы нулю. Если точка С„ совпадает-с точкой а, то сумма r равна нулю. Для. того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы X, Y, Z равнялись нулю.

Примечание. Пусть Р - произвольный вектор. Если

R=P,+P,+ ... +Рп,

то, взяв скалярные произведения, получим:

p./j = p.Pi + p.p,4- ... +рр„.

Это равенство непосредственно вытекает также из того, что проекция вектора R на вектор Р равна сумме проекций векторов Р, Pg, .... Р„ на вектор Р.

5. Геометрическая разность. Геометрическая разность векторов Pi и Pj (рис. 4) есть вектор Q, сумма которого с вектором Pj равна вектору Pj. Проведем из некоторой точки а два вектора ас и ЛСа, геометрически равных заданным векторам Р

и Pj. Тогда вектор q, геометри- чески равный вектору сс, и будет искомым, так как

P, = P, + Q.

Мы будем писать

Q = Pi -Рг

Пусть X. Y.


Рис. 4.


Проекции геометрической разности векторов. Z - проекции геометрической разности Q двух векторов Pj и Рз, проекции которых равны соответственно Ху, Fi, Z, и -Yj, Kg, Zg. Очевидно, имеем:

Х=Х,-Х, К=К,-Кз, Z = Zi -Zj.

б. Положительное направление вращения вокруг оси. Пусть Д - некоторая ось, на которой произвольным образом выбрано положительное направление, например, от г к 2 (рис. 5). Мы будем говорить, что точка М, движущаяся по произвольной пространственной кривой С, вращается вокруг оси в положительном направлении, если для наблюдателя, смотрящего по направлению от 2 к z, точка движется справа налево. В противном случае точка вращается в отрицательном направлении.

Рис. 5.




Рассмотрим, например, два вектора /IjP, и ВРо (рис. 9). Допустим, что точка, перемещающаяся по направлению АР, поворачивается вокруг вектора SPj- принятого в качестве оси, в каком-нибудь направлении. Тогда из рисунка видно, что и, наоборот, точка, перемещающаяся вдоль ВР, вращается вокруг АР в том же направлении.

Ориентация координатного триэдра. .Мы будем предполагать, что координатный триэдр ориентирован таким образом, что поворот на 90° в положительном направлении вокруг оси Oz переводит ось Ох в ось Оу (рис. 1).

Примечание. При другом выборе положительного направления для сохранения формул необходимо изменить ориентацию осей, придерживаясь указанного правила.

7. Векторное произведение двух векторов. Проведем из какой-нибудь точки А векторы АР и АР, геометрически равные двум заданным свободным векторам Я, и Я,, и построим на них параллелограмм APxQPo (рис. 6V Проведем далее из точки А вектор AG, перпендикулярный плоскости этого параллелограмма и содержащий столько единиц длины, сколько единиц площади содержится в параллелограмме. Направление вектора AG выберем таким образом, чтобы точка, пробегающая контур APiQPoA, вращалась вокруг AG в положительном

направлении. Этот вектор AG или Q называется векторным, или внешним произведением векторов и Рч, что записывается следующим образом: р -

Грассман называет вектор G дополнением цикла AP-iQPiA, определенного векторами Я, и Я,.

Векторное произведение Р., на Я, есть вектор AG или G, противоположный вектору G. Действительно, новое векторное произведение имеет ту же линию действия и тот же модуль, что и вектор О, но оно направлено в противоположную сторону, так как точка, описывающая контур APoQPiA,

должна вращаться вокруг AG в положительном направлении. Имеем:

С=Я2ХЯ,

и, следовательно,

РоХР, = -Я1 ХЯ,. Если Pi совпадает с Яо, то векторное произведение обращается в нуль:

РХР= 0.

III. Скользящие векторы. Пять координат скользящего вектора

8. Общие замечания. Рассмотрим вектор AiB модуля Р, приложенный в точке А. По предположению, если такой вектор переносить вдоль его линии действия Dj, то он по-прежнему будет представлять ту же самую физическую величину. При таком пере-





0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0043