Главная Промышленная автоматика.

50. Геометрические следствия. Очевидно, что каждая теорема, установленная в главе I в теории скользящих векторов, может служить теоремой о вращениях и поступательных движениях, сообщаемых некоторому телу S„, если векторы заменить вращениями, пары - поступательными движениями со скоростями, равными их векторам-моментам, и главный момент относительно точки М - скоростью, которою обладает эта точка, двигаясь вместе с телом. Теоремы геометрии о плоскостях и их фокусах, о сопряженных прямых, о прямых нулевого момента имеют простое истолкование. Так, например, если плоскость П неизменно связана с телом 5» при его движении, то фокусом плоскости II будет та ее точка, скорость которой перпендикулярна к плоскости, и т. д.

Тот факт, что произвольное число вращений и поступательных движений, приложенных к твердому телу, сообщают его различным точкам такие же скорости, как и винтовое движение, находит свое настоящее объяснение в теореме, согласно которой в наиболее общем движении твердого тела скорости в каждое мгновение будут такими же, как в винтовом движении. Это нам и предстоит доказать.

51. Распределение скоростей в движущемся твердом теле.

Отнесем движение к трем неподвижным в пространстве прямоугольным осям ОуХУхг. Для определения положения тела введем три прямоугольные оси Oxyz, ориентированные так же, как и первые, и неразрывно связанные с телом (рис. 46). Достаточно знать движение этих осей, которое определяется координатами Xq, Уо, Zq. подвижного начала и девятью направляющими косинусами подвижных осей относительно неподвижных, выраженными в функции времени. Будем полагать, что эти девять направляющих косинусов даются следующей таблицей:


Рис. 46.

Пусть М - точка тела, имеющая координаты х, у, z относительно подвижных осей и х, у, относительно осей неподвижных. Числа x, у, Z являются постоянными, так как точка М неразрывно связана с движущимися осями.

По формулам преобразования координат имеем:

•1 = -0 + а- + «-iy + «2. yxyo + x + iy + ,z.

Zi=ZQ+1x--ixy-Jrb-



(основные формулы)

Vy=Vl + rx-pz, V,Vt+py-qx,

где Vx, V, V% обозначают проекции скорости точки О на подвижные оси:

" - dt dt dt •

Дифференцируя эти выражения по t, мы получим проекции скорости V точки М (рис. 46) на неподвижные оси:

dt - dt dty-df

dt - dt dty dt

Для простого истолкования этих формул найдем проекции V, Vy, скорости V на подвижные оси. Очевидно, имеем

V,=a.,V,-,Vy--2Vz,.

Вычислим правые части, заменяя в них Vx, Vy, Уг, полученными для них выражениями и замечая, что такие величины, как

da , г, d . d-i равны нулю вследствие соотношений

Далее, примем во внимание соотношения «ia2 + Pip2+TiT2 = 0, aa2 + pp2+xif2 = 0, aai+ppi +=0. которые продифференцируем по t. Получим:

Здесь обе части мы обозначаем соответственно через р, q, г. Окончательно получим:

Vco = Vl + qz-ry,



Эти формулы имеют простой смысл. Они показывают, что скорость V каждой точки М твердого тела есть геометрическая сумма двух векторов: вектора V, общего для всех точек М, равного и параллельного скорости точки О, и вектора и, изменяющегося с положением точки М и имеющего проекции qz~ry, гх-рг,ру - qX на подвижные оси. Вектор V° есть скорость, которую имела бы точка М, если бы тело совершало поступательное движение со скоростью У. Вектор и есть скорость, которую имела бы та же точка, если бы тело совершало вращение Ош, имеющее проекции р, q, г на подвижные оси. Это вращение называется мгновенным вращением. Полученный результат выражают, говоря, что скорость произвольной точки тела есть результирующая скорости поступательного движения, равной скорости какой-нибудь точки О тела, и скорости вращения вокруг некоторой оси, проходящей через О.

Полученные формулы являются основными для кинематики. Когда движение твердого тела дано, то шесть величин V%, Vy, Vt, р, q, г являются известными функциями времени. Наоборот, если эти величины даны в функции времени, то можно найти движение триэдра. (См. Darboux, Legons de Geometrie, т. I, гл. И; Кое nigs, Le-gons de Cinematiques, стр. 119.)

Компоненты скорости по неподвижным осям легко выводятся из полученного результата. Прежде всего, для проекций V° на неподвижные оси имеем

dxg dy dz dt dt df

Далее, обозначая через p, q, проекции мгновенного вращения 0(1) на неподвижные оси и пользуясь формулами вращения (п. 44), получим следующее выражение для проекции вектора и на ось Ох-

Чх (2i - 2о) - Гх {ух - у.

Следовательно, проекция скорости V на Охх будет

Vo,. =- + 9i(2i - 2о) - Гх{Ух - Уд-

Два аналогичных выражения получаются для Vy и V.

62. Мгновенная винтовая ось. Касательное винтовое движение. Значения скоростей различных точек твердого тела таковы, как если бы тело совершало либо одно вращательное Ош и одно поступательное движение ОУ°, либо три одновременных вращения: вращение От и два вращения и - ш°, образующих пару с вектором моментом 0V°. Согласно правилу, установленному в теории сложения вращений, это распределение скоростей будет в то же время таким, как если бы тело совершало одно винтовое движение вокруг центральной оси системы вектора ш, ш", -со". Уравнения этой центральной оси получатся, если искать геометри-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [19] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0051