Главная Промышленная автоматика.

скорость. Так как первый вектор есть сумма двух других, то

(Wa) = (r)+(«)-Когда стремится к нулю (рис. 39), эти векторы стремятся к абсолютной скорости V, относительной скорости и переносной скорости Vg. Мы имеем, следовательно, геометрическое равенство

Переносная скорость, согласно предыдущему, представляет собой скорость точки системы (5), совпадающей в рассматриваемый момент с точкой М, или скорость, которую имела бы точка М, если бы она в занимаемом ею положении оказалась неизменно связанной с системой (5).

Мы увидим дальше, как определяется абсолютное ускорение при помощи аналогичной формулы, но с добавочным членом. Однако прежде мы дадим некоторые приложения предыдущей теоремы.

46. Сложение поступательных движений. Рассмотрим неизменяемую систему (Si), движущуюся поступательно со скоростью Vi, и вторую систему {So), движущуюся поступательно относительно (Si) со скоростью V2 (рис. 40).

Абсолютная скорость Va какой-нибудь точки М системы (S2) есть геометрическая сумма относительной скорости этой точки, которая равна V2, и ее переносной скорости, равной Vi- Абсолютные скорости различных точек (S) будут, следовательно, такими, как если бы (S2) соверщала только одно поступательное движение со скоростью, равной геометрической сумме двух скоростей Vi и V2- Говорят, что два поступательных движения с/го-жились в одно. Точно так же несколько поступательных движений складываются в одмо со ско-



Рис. 40.

Рис. 41.

ростью, равной результирующей скорости всех скоростей заданных поступательных движений.

47. Совокупность двух вращений. Пусть тело Si соверщает вращение j4]U>. Вообразим, что это тело Si содержит ось Лга и что некоторое тело S2 соверщает относительно Si вращение «2 вокруг оси 2">2 (рис. 41).

Найдем абсолютную скорость какой-нибудь "точки М тeлa"S2• Относительная скорость точки М относительно тела Si есть скорость, которой она обладает во вращении ш,- это момент вектора <о, относительно точки М. Переносная скорость - это скорость Vx, которой обладала бы точка М,



если бы она была неизменно связана с телом Sj. Это та скорость, которая вызвана вращением а, или момент вектора «1 относительно точки М. Абсолютная скорость Va точки М равна, следовательно, результирующему моменту векторов «1 и «2 относительно точки М. Эта скорость не зависит от порядка, в котором происходят вращения М] и mj. Рассмотрим несколько частных случаев:

1°. Оси вращения пересекаются. Результирующий момент векторов и «2 относительно произвольной точки М равен моменту их результирующего вектора м (рис. 42, д). Абсолютная скорость точки М будет, следовательно, такой, как если бы тело S3 совершало только одно вращение Ai<>>.

2°. Оба вращения «1 и «3 параллельны и не образуют пары. Система этих двух векторов эквивалентна одному единственному вектору Аа, получаемому по известному правилу (п. 31). Следовательно, результирующий момент относительно точки М равен моменту результирующего вектора Аи>. Скорости различных точек тела будут, как и раньше, такими, как если бы тело совершало только вращение « (рис. 42, б).




Рис. 43

3°. В случае, когда оба вращения образуют пару, результирующий момент равен вектору момента пары, какова бы ни была точка М, и все точки тела i>2 имеют одинаковую скорость. Скорости этих точек будут, следовательно, такими, как если бы тело S2 совершало поступательное движение со скоростью, равной вектору момента пары (рис. 43).

48. Произвольное число вращений. Пусть тело 5i совершает вращение Ахч>1 и с ним связаны ось Лмд и тело 5з, которое совершает относительно S\ вращение (о. С телом 5г связаны ось Ач> и тело S3, совершающее относительно S2 вращение wg, и т. д. до тела S», совершающего относительно S„ i вращение «„.

Мы будем говорить для краткости, что тело Sj одновременно совершает вращения (Oi, «2.....«„. Найдем абсолютную скорость какой-нибудь

точки М, неизменно связанной с последним твердым телом S«. Эта скорость

равна главному моменту системы векторов wi, «з..... относительно

точки М. Так как это предложение установлено для случая двух вращений, то для того, чтобы установить его в общем виде, достаточно показать, что если оно справедливо для п - 1 вращений, то оно остается справедливым и для п вращений.

Абсолютная скорость точки М тела S« равна геометрической сумме его относительной скорости относительно S„ i и переносной скорости Vg (рис. 44). Относительная скорость точки М по отношению к S«-i есть скорость, вызванная вращением «„, т. е. она равна моменту вектора относительно точки М. Переносная скорость точки М равна скорости, которую она имела бы, если бы была неизменно связана с телом Sn-ь т- е. она равна главному моменту векторов со, .....<п-\ относительно точки М. Абсо-




дю1ная скорость есть результирующая этих двух моментов и равна, следовательно, главному моменту векторов (о, относительно точки М. Эта скорость не зависит от порядка вращений.

Задача, которая возникает при аналогичной комбинации поступательных и вращательных движений, приводится к предыдущей путем замены каждого поступательного движения парой вращений.

Установив это, рассмотрим вторую систему векторов ш, (Og, (Op, эквивалентную первоначальной (о, mj, т. е. такую, которая может быть получена из первоначальной элементарными операциями. д Обе системы вращений, представляемые этими векторами, сообщают точке М одну и ту же скорость. Следовательно, если рассматриваются только скорости, то одну систему векторов со можно заменить другой.

Вот некоторые, вытекающие отсюда наиболее важные следствия:

1°. Система векторов эквивалентна двум векторам, из которых один проходит через произвольно выбираемую точку. Рис. 44. Следовательно, скорости точек тела Sn

будут такими же, как если бы это тело совершало два вращения, ось одного из.которых проходит через точку, выбираемую произвольно (Шаль).

2°. Система векторов эквивалентна одному вектору «, проходящему через произвольную точку О, и паре с вектором момента О Ко- Следовательно, скорости точек тела 5„ будут такими же, как если бы это тело

совершало одно вращение 0«, ось которого ,п проходит через произвольную точку О, ипару вращений с вектором момента OVo, т. е. поступательное движение со скоростью OVq (рис. 45). Когда положение точки О меняется, (У вращение 0« сохраняется неизменным, а поступательная скорость OVq изменяется, но так, что произведение g = ОУц cos («, Vq) остается постоянным.

Если DD есть центральная ось системы векторов «1, «2, ..., «и, то эта система эквивалентна одному-единственному вектору U) (вращению), направленному по DD, и паре с минимальным векторным моментом g (поступательному движению со скоростью g), направленным также по DD. Скорости точек тела Sn будут такими же, как если бы оно совершало вращение U) и поступательное движение g в направлении этого вращения. Это движение, эквивалентное движению болта в неподвижной гайке, называется винтовым движением, а ось DD - мгновенной винтовой осью.

49. Частные случаи. Отметим некоторые частные случаи, соответствующие различным исследованным случаям в теории векторов (п. 26). Если минимальный момент g равен нулю, то система заданных вращений эквивалентна одному-единственному вращению вокруг центральной оси. Если « обращается в нуль, то система эквивалентна одному поступательному движению. Если (о и Vq одновременно равны нулю, то система вращений эквивалентна нулю: скорости всех точек тела S« равны нулю.


Рис. 45.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [18] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041