Xi, У2 - У\> 2 - 1 на оси постоянны. Следовательно, их производные равны нулю и мы получаем:

dx dxo,

dt dt

dyt dya

dj, dt

dt •

Это показывает, что обе точки имеют одинаковые скорости. Наоборот, если все точки тела имеют в каждый момент времени

одинаковые скорости, то тело движется поступательно. В самом деле, если две точки Ау и А2 имеют одинаковые скорости, то будут справедливы уравнения (1), откуда после интегрирования увидим, что Ху - Х2, У1 - У2< Z\ - Ч постоянны, т. е. что отрезок Л1Л2 перемещается параллельно самому себе. Общая скорость всех точек называется скоростью поступательного движения. Дифференцируя уравнения (1), непосредственно убеждаемся, что все точки тела при поступательном движении имеют в каждый момент времени одинаковые ускорения. Общее ускорение всех точек называется ускорением поступательного движения,

44. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Геометрическое представление. Когда тело вращается вокруг неподвижной оси АВ (рис. 36), каждая его точка М описывает окружность, перпендикулярную к оси, с центром Р, лежащим на оси. Скорость точки М направлена, следовательно, нормально к плоскости МАВ в сторону вращения. Дуги, описываемые двумя различными точками за одно и то же время, пропорциональны их расстояниям до оси. Скорости этих точек относятся, следовательно, как их расстояния до оси.

Угловой скоростью называют величину, численно равную скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины. Если эту угловую скорость обозначить через О), то величина V скорости точки УН будет равна шЖР, где MP - расстояние от точки М до оси вращения. Когда вращение задается углом 6, на который поворачивается тело от какого-нибудь начального

положения, и этот угол выражен в функции t, то ш равно .

Для определения скоростей в какой-нибудь момент t при вращательном движении необходимо знать три элемента: ось вращения, угловую скорость и направление вращения. Эти три элемента могут быть представлены одним вектором следующим образом.

Рис. 36.

Возьмем на оси вращения АВ произвольную точку А и отложим на ней отрезок Аш длины ш, направленный таким образом, что для наблюдателя, стоящего в точке А и смотрящего с конца ш отложенного отрезка, вращение происходит справа налево. Определяемая таким образом геометрическая величина Аш представляет вращение. Отождествляя вращательное движение с представляющим его вектором, часто говорят, что тело совершает вращение Аш. Так как начало вектора А может быть выбрано где угодно на оси, то, не изменяя вращения, можно перенести начало изображающего его вектора ш в произвольную точку его линии. Вращение представляется, следовательно, вектором, приложенным вдоль некоторой прямой. Этот вектор является аксиальным (п. 34).

Аналитические выражения проекций скорости точки тела. Пусть Лео (рис. 37) - вращение с угловой скоростью ш, а р, q, г - проекции последней на оси Ох, Оу, Oz, предполагаемые прямоугольными, наконец, Xq, У(, Zq - координаты точки Л. Пусть М - точка тела с координатами х, у, z, MV - ее скорость, Vr, Vy, - проекции этой скорости на оси. Последние величины нам и нужно определить.

С этой целью заметим, что скорость V точки М по величине и направлению совпадает с моментом вектора Лш относительно точки М. В самом деле, эта скорость равна ыМР, перпендикулярна плоскости МАш и направлена таким образом, что точка, перемещающаяся от Л к ш, двигается вокруг V в положительном направлении. Нам известны (п. 9) формулы проекций момента относительно какой-нибудь точки {х, у, Z). Прилагая эти формулы к рассматриваемому случаю и замечая, что момент берется относительно точки х, у, z, найдем:

Усо = д(г - 2о) - г(у - уо),

Рис. 37.

y = r{x~x~p{z - z, =Р(У - Уо) - !{х - Хо).

Когда точка Л совпадает с началом координат, эти выражения принимают вид

V = qz - ry, Vy = rx -pz, V,=py~ qx.

Рис. 38.

Рис. 39.

1П. Скорость в относительном движении. Сложение поступательных и вращательных движений. Скорости точек свободного тела

45. Относительное движение; скорость. Вообразим неизменяемую систему (5), совершающую заданное движение, и некоторую точку М, движущуюся относительно этой системы. Система (S) может быть, например. Землей, а точка М - тяжелой точкой, предоставленной самой себе на поверхности Земли и падающей по вертикали. Для наблюдателя, увлекаемого системой (5), называемой подвижной системой отсчета, и не подозревающего об этом движении, точка М

описывает относительно системы (5) некоторое движение, которое называется относительным. Траектория, скорость и ускорение в этом движении называются относительной траекторией, относительной скоростью и относительным ускорением. Одновременно та же точка совершает в пространстве некоторое абсолютное движение.

На рис. 38 изображена относительная траектория С точки М относительно системы сравнения (5). В то время, как точка М описывает эту кривую С, неизменно связанную с системой (5), сама система перемещается в пространстве. Пусть в момент t движущаяся точка, система сравнения и относительная траектория занимают положения М, (S) и С, а в момент времени t-\~t они занимают положения Му, (Si) и Cj. Абсолютное перемещение есть MMi, точка переходит из М в Ml, следуя по некоторой траектории С„, которая является её абсолютной траекторией.

Обозначим через М положение, которое занимает в момент точка системы (S), совпадавшая с точкой М в момент t. Перемещение МMl есть относительное перемещение точки М\ перемещение ММ называется переносным перемещением. Вектор MMi есть

геометрическая сумма векторов МMi и ММ. Если на каждом из этих векторов отложить отрезки MW, MW и MWg, равные соответственно этим векторам, деленным на М, то полученные таким образом векторы будут представлять собой среднюю абсолютную скорость, среднюю относительную скорость и среднюю переносную