Главная Промышленная автоматика.

то конечное уравнение движения есть

,, dW еМ - = а, да

3°. Завершить вычисления для случая свободной материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной расстоянию, и подверженной сопротивлению среды, пропорциональному скорости. (Эллиот, .\nnales de ГЁсо1е Normale, август, 1893.)

14. Приведение уравнений равновесия свободной нити к канонической форме. Пусть дана свободная нить, элемент йз которой находится под действием силы, имеющей проекции rfs, Щ-s, ds, где U - заданная функция от X, у, г, s. Если через q, q,, q обозначить координаты х, у, г.

Т. е. обратятся в уравнения движения точки -без сопротивления среды на поверхности f{x, у, z,-- In t = 0. К этому последнему движению можно

применить методы Пуассона, Гамильтона и Якоби. После того, как будут найдены в конечной форме общие интегралы уравнений движения (2), достаточно будет заменить в них f через чтобы получить общие интегралы предложенных уравнений движения (1).

Этот же метод преобразования можно применить, очевидно, к движению свободной точки, или точки, скользящей по неподвижной или движущейся кривой, когда на нее действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. (Эллиот, Comptes rendus, 1893; Annales de ГЁсо1е Normale, август, 1893.)

13. Приложить предыдущий метод Эллиота к следующим примерам. 1°. Точка движется по неподвижной поверхности, для которой

ds"- Edu--\- 2Р dudv-{-G dv"-,

причем силовая функция равна {/ и на точку действует пропорциональная скорости V сила сопротивления среды, равная kV.

Ответ. Если W (м, v, а, р) - полный интеграл уравнения

то уравнения движения суть

2°. To4Kd движется по неподвижной кривой, для которой ds = Edui, при сопротивлении среды, равном kV.

Ответ. Если W (и, а) есть интеграл уравнения



ds ds

, dz ds

a через pi, p, Рз - величины T-VpI+ p?, + pI- Если, наконец, положить

TO получим

TO уравнения равновесия могут быть приведены к канонической форме

dq, dH др дН

dq..

(v = 1, 2, 3).

Применить к этим уравнениям теорему Якоби. Таким путем получится другое доказательство теоремы Клебша (Journal de Crelle, т. 57). (См. Comptes rendus, т. XCVI, 1883, стр. 688 и статью Марколонго «Rendiconti della R. Academia delle Scienze de Napolb, 1888.)

15. Привести точно так же к канонической форме уравнения равновесия нити, скользящей по поверхности. (Comptes rendus, т. XCVI, 1883, стр. 688.)

16. Доказать, что определитель коэффициентов при q[, q, q в уравнениях (2) п. 292 равен квадрату функционального определителя величин X, у, г, рассматриваемых как функции параметров q,, qo, q.

17. Материальная точка скользит без трения по поверхности однородного эллипсоида вращения и притягивается элементами этого эллипсоида по закону Ньютона. Найти движение. (Якоби, Crelle, т. 24.)

(По теории притяжения, сила притяжения точки эллипсоидом имеет проекции X = - fx, Y = -fy, Z = - gz, rm f п g - постоянные, a ось Ог является осью вращения.

18. Найти движение точки, находящейся под действием ньютоновского притяжения к двум подвижным центрам, описывающим неподвижную окружность таким образом, что они постоянно находятся на двух концах одного и того же диаметра, а движущаяся точка всегда находится в плоскости, определенной этим диаметром и осью окружности. (Д е б о в. Journal de Liouville, т. Xlllj.)

19. В случае эллиптических координат на плоскости задача интегрирования уравнений движения точки приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид

И и,

В пространстве задача приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид

1 q, и, 1 qo, Ui 1 9з 3

1 9i

1 92 92

9з Ч\

где функции иI, Uo , Uz являются каждая функцией соответственно параметров q,, qi и q. (Лиувилль, Journal de Liouville, т. XIlj.)



а 6 с С

(получится, что U\, Uo, и$ равны -, -, -, где С-постояннаяУ (Bul-\ 4i 4i )

letin de la Societe mathematique de France, т. XIX, стр. 102.)

К этой форме можно привести силовую функцию для точки, скользящей по эллипсоиду и притягиваемой центром пропорционально расстоянию (см. Лиувилль, Journal de Liouville, т. XII); тот же вопрос исследован Шель-бахом (Crelle, т. 44, стр. 380).

20. При системе плоских эллиптических координат предполагается, что движущаяся точка находится под действием силы, имеющей силовую

функцию --где Ui и Uo зависят соответственно от и q,. Во что

9i - 99

обратится задача, когда оба фокуса будут неограниченно сближаться до сияния в точке О?

Ответ. Полагая в формуле п. 287 а = b -\-1, где £ - бесконечно мало,

получим qi =a - ix.., q,=.a - r\ = }xri, y = {\ - ix)r"-, = iMzLiil!!

где r - радиус-вектор, исходящий из центра. Следовательно, U есть сумма двух членов, из которых один зависит только от г, а второй однороден относительно координат с показателем однородности - 2. (Лиувилль, Journal de Liouville, т. Xl.)

f 21. Система эллиптических координат и ее предельные случаи являются единственными вещественными системами, допускающими приведение квадрата линейного элемента плоскости к форме Лиувилля

ds2 = (а) ф (Р)] (а) dai - ф (р) d]

(предельными случаями являются: прямоугольные координаты, когда оба фокуса находятся в бесконечности, параболические координаты, когда только один из фокусов находится в бесконечности, и, наконец, полярные координаты, когда оба фокуса сливаются). (Лиувилль, Journal de Liouville, т. XI и XII. См. премированные работы, Comptes rendus, seance publique, декабрь 1892, стр. 1122.)

22. Зная полный интеграл W {х, у, г, а, р, Л) уравнения с частными производными п. 300, можно всегда вывести из него другой интеграл W того же уравнения, который обращается в нуль на заданной поверхности tp (д:, у, г) - 0. (Метод Лагранжа получения общего интеграла из полного.) Если этот интеграл определен, то траектории, нормальные к заданной поверхности, будут нормальны к поверхностям W = const., и действие на отрезке одной из этих траекторий между двумя из этих поверхностей будет одинаковым для всех траекторий. (См. Дарбу, Lecons sur la Theorie generale des surfaces, т. II, гл. VI и VII.)

23. В плоском движении силовая функция предполагается вида

С/= Ах™ + By",

где А и В - произвольные постоянные, а т п л -целые числа. Доказать, что уравнение Якоби для W имеет полный интеграл, алгебраический относительно л: и у.

Вывести отсюда, что можно получить бесконечное число ортогональных алгебраических систем, включающих в себя и заданную алгебраическую

Убедиться, что к этой форме можно привести силовую функцию, обратно пропорциональную степени движущейся точки относительно одной из софокусных поверхностей, например,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [164] 165 166 167

0.0036