Главная Промышленная автоматика.

ЭТИ уравнения должны представлять прямую линию в пространственных эллиптических координатах. Они эквивалентны двум алгебраическим соотношениям между qi, q,, q, что составляет первое обобщение результата Эйлера, указанное в конце предыдущего упражнения, и частный случай теоремы Абеля, приложенной к ультраэллиптическим интегралам первого рода. Что касается времени, то мы получим его, приравнивая t - частной

„ dW производной •

В виде упражнения будет показано, что силовая функция принимает вышеуказанную форму, когда на движущуюся точку одновременно действуют притяжение к центру, пропорциональное расстоянию, и притяжения, нормальные к трем главным плоскостям софокусных поверхностей и изменяющиеся в отношении, обратном кубу расстояний.

V. Приложения к принципу наименьшего действия, к брахистохронам, к равновесию нитей

309. Наименьшее действие. Свободная точка. Допустим, что на свободную точку массы 1 действует сила, имеющая силовую функцию и {х, у, г). Мы видели, что если постоянная живых сил Л имеет определенное значение, то траектории, проходящие через две заданные точки А w В, являются кривыми, обращающими в нуль вариацию действия

о4= J У2(<7 4-Л) ds. (1)

Эти траектории легко найти, если известен полный интеграл уравнения Якоби относительно W в произвольной системе координат:

Для дальнейшего полезно написать это уравнение в явной форме. Мы видели (п. 293), что Т является квадратичной формой от pi, р pg.

кроме того, Я= Т~и. Уравнение Якоби, получающееся заменой р,, р,, р,

dW dW dW производными -, 5-•, 5-, имеет вид dq, dq, dq

Пусть теперь W {q,, q,, q, a, p, h) - полный интеграл этого уравнения, а Wf, и Wl - значения, которые он принимает в точках А и В. Мы знаем, что уравнения траекторий в конечной форме суть

с четырьмя постоянными а, р, о, р.

Чтобы найти траектории, проходящие через точки А к В, надо определить эти постоянные, подставив в уравнения (4) координаты точек An В. Тогда будет

dWo , dWo dWi , dWx ,



Вычитая, получим

д~а а? ~

Эти два последних уравнения определяют и и р, а предыдущие уравнения (5) определяют а и р. Каждой системе значений аир, заданной уравнениями (6), соответствует траектория, проходящая через, точки А и В, для которой справедлива следующая замечательная теорема: значение действия вдоль траектории АВ определяется формулой

= U7i - Wa.

В самом деле, найдем, каково будет элементарное приращение dW функции W, соответствующее бесконечно малому перемещению dq,, dq,, dq, совершаемому по этой траектории. Мы можем предположить, что q,, q, q являются координатами материальной точки, брошенной таким образом, чтобы она описала рассматриваемую траекторию. Тогда

или, подставляя q[dt, qdt, qdt вместо dq,, dq, dq и p,, p вместо

dW dW dW - , -r- , - , получим dq, dqi dq

dW = {piq[ + piqi + pq dt.

Так как pj, pi, рз суть частные производные от Т по q,, q., q и так как

1 lds\"

кинетическая энергия / равна I - j , то на основании теоремы об однородных функциях имеем

dW = 2Tdtds.

Но по теореме кинетической энергии скорость равна V2 {U h)\ отсюда

dW = lA2(t/-f Л) ds.

Следовательно, значение действия, вычисленного вдоль траектории от А до В, окончательно будет

(-В) {В)

= . J УЩО~+И ds= j dW==Wi- Wa,

(Л) (A)

что и надо было доказать.

310. Точка на поверхности. Те же заключения справедливы и для движения точки по плоскости или по произвольной неподвижной поверхности, когда существует силовая функция.

Кинетическая энергия будет тогда квадратичной формой относительно q[, q. или относительно р,, р.

27" = iW + 2ai29i92 + aqf = {А,,р\ -f гЛаРр -f- Ар, (7)



Н равно Т-и ш уравнение Якоби для W будет

dW dW . , IdWSi

1 Г . / \2

dq dq.

Если W (qi, qo, a, h) есть полный интеграл, то уравнение траекторий будет dW

• = а и действие вдоль траектории, идущей от А до В, равно Wi - Wg,

причем а определяется уравнением

d(Wi-Wo)

= 0. (Более подробное

исследование этих свойств см. в «Legons sur la Theorie des surfaces* Дарбу, т. II, главы VI и VII).

311. Параболическое движение. Для параболического движения тяжелой точки в вертикальной плоскости мы нашли (п. 302)

W = ax - -r (2А - аЗ - 2у)

Значение действия вдоль одной из двух параболических траекторий, идущих от точки {xq, Уо) к точке {х, yi), равно

Jl=a(Xi - Хо)

Sg I

(2Л - «2 2gyi) - (2А - ai - 2уо)

где а - один из двух корней уравнения

Xt - Xo + -

(2Л - а2 2yi) 2 (2Л «2- 2уо)

= 0.

Это уравнение после приведения к рациональному виду будет биквадратным относительно а. После того как одно из значений а2 будет выбрано, знак величины а определится из уравнения (9), в котором член Xi - x и

коэффициент при - имеют известные знаки.

312. Брахистохроны и фигуры равновесия нитей в случае силовой функции. Задача рефракции.. Если мы для краткости заменим в предыдущих равенствах 2(t/-f-A) величиной <р2, где <f - функция координат, то увидим, что результаты, полученные для свободной точки, могут быть выражены следующим образом. Кривые, соединяющие две точки А п В и обращающие в минимум интеграл

(-В)

(10)

будут известны, если известен полный интеграл W{qi, q,, q, а, Р) уравнения Якоби (3) относительно W, в котором 2{U-\-h) заменено величиной tf;

SAjudWdW D дш

D dqi dqu

= m2

Их уравнения будут

?2 (/, ;fe= 1, 2, 3).

(11)

и значение интеграла / вдоль одной из этих кривых равно Wi - Wo, причем постоянные аир вычисляются, как и раньше, при помощи уравнений (6).

33 Зак. 851. п. Аппель, т. 1





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163 164 165 166 167

0.0045