Главная Промышленная автоматика.

с тремя произвольными постоянными а, р и л, из которых ни одна не является аддитивной. Для получения траекторий нужно теперь приравнять постоянным а и р частные производные от IF по а и р:

)-~(а - Ь)а

(b~q,)y SJiq,)

J iib-q-2)YS,f{q,) f dq, !> dq.

Второе из этих уравнений, устанавливающее соотношение между q, и qo, представляет относительную траекторию в движущейся плоскости хОу; первое уравнение определяет угол вращения этой плоскости. Чтобы получить время, приравняем частную производную от IF по Л разности t - q:

1 f 4idqx 1 Г 4 J YSJiqd 4 J

q- dqo

. - t - Гп

Y&iKqd

Таким образом, задача приведена к квадратурам. Эти квадратуры являются эллиптическими, как в этом можно убедиться, полагая q, - а=- s\

и 2 - а -s\, так чтобы S, и So, стали рациональными относительно Si и sj.

Что касается выражений для вспомогательных переменных ру, р,, pg, то для их нахождения нужно взять частные производные от W по q,, qo, fl:

Последняя формула выясняет смысл постоянной о. В самом деле, из уравнения, определяющего Рз, мы имели Яз = у-В (стр. 874). Следовательно, интеграл Рч = а дает

уЧ =а,

что выражает возможность применения закона площадей к проекции движения на плоскость yOz, так как у и в являются полярными координатами проекции движущейся точки на эту плоскость. Это обстоятельство можно было предвидеть заранее, так как силы, действующие на точку, пересекают ось Ох.

В частном случае, когда начальная скорость точки пересекает ось Ох, траектория будет, очевидно, на.ходиться в плоскости M,OiOo, определяемой начальным положением точки и обоими притягивающими центрами. В этом можно убедиться и из уравнений. В самом деле, постоянная а будет в этом случае равна нулю и первое из уравнений (7") траектории обратится в следующее;

О = а.

мы получим

""-VттЛ -Vш-

Эти выражения определяют а R<> в квадратурах и для искомого полного интеграла получается выражение



91 - 93

где Ux - произвольная функция только переменного q,, й U, - функция только переменного q,. Например, эта форма силовой функции сохранится, если к предыдущим силам (притяжениям к неподвижным центрам Ох и Og по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния) присоединить силу притяжения к точке О, пропорциональную расстоянию, силу притяжения, перпендикулярную к плоскости yiOi и обратно пропорциональную кубу расстояния X, и силу притяжения, перпендикулярную оси Ох и обратно пропорциональную кубу расстояния у.

Отметим, в заключение, работу Вельде «Ueber einen Specialfall der Ве-wegung eines Punktes welcher von zwei festen Centren angezogen wird» (Берлин, изд-во P. Гартнера, 1889) (Bulletin des Sciences mathematiques, 1890 стр. 125). Вельде рассматривает задачу плоского движения в предположении

что силы притяжения к фокусам Ох и О, равны соответственно--1 - }хгх,

- ~ - iJ-fo И что движущаяся точка притягивается центром О пропорцио-

нально расстоянию.

308. Эллиптические координаты в пространстве. Мы нащли (п. 286)

TiM,q[ + M,q:; + M,q,).

Тогда

Допустим, что силовая функция имеет вид

иг , U2 , и± .

(91 - 9з) (91 - 9з) (92 - 9з) (92 - 9i) (9з - 9i) (9з - 9»)

Это показывает, что плоскость уОх останется неподвижной. Второе из уравнений (Т) определит траекторию в здлиптических координатах.

Интегрирование уравнения Эйлера. Допустим, что не только а = О, но и р., = = 0. Тогда плоскость уОх будет неподвижной, траектория будет плоской и так как сил нет, то эта траектория будет прямой линией на плоскости уОх. При этих предположениях второе из уравнений (Т) после замены f(qi) и f{q,) их выражениями примет вид

Г л. С i 3 (Е)

Следовательно, это уравнение представляет прямую, и оно может быть отождествлено с уравнением прямой линии в эллиптических координатах, которое будет, очевидно, алгебраическим относительно q и q,. Таким путем мы воспроизвели, следуя Лагранжу, очень важный результат, данный Эйле-

юм и выражающий, что уравнение (Е) допускает алгебраический интеграл.

ia этом результате основывается сложение эллиптических функций.

Примечание. Таким же путем можно привести к квадратурам задачу о движении точки, находящейся под действием сил, которые в примененных на.ми координатах имеют силовую функцию вида

f/i-Уз



Н= 2

\М, Mi+Mj

Если мы подставим вместо М,, М-ь их значения (п. 286), то уравнение для W будет следующее:

-Л-f 2

1 - 9s) (9i - q-i) \dqi ) (92 - <7s) (92 - 9i) \ 92 /

/(98)

(93-9i) (93 - 9-2)Л dq.

Для нахождения полного интеграла этого уравнения при сделанных относительно U предположениях заметим, следуя Якоби, что при любых Значениях постоянных а и р выполняется тождество

2a + 2q,+ hql 2a + 2qi + hqr,

2a + 2q, + hql

(9i - 92) (9i - 9з) (9з-9з)(92 -9i) (9з - 9i) (9з - 92)

в чем можно убедиться, написав, что сумма вычетов рациональной относительно q функции

2а + 21Цд + hq-i

ii - Qi) iq - 4z) (q - qa)

равна h. Тогда уравнение для W при замене h этим выражением может быть написано следующим образом:

2/(9i) (4)- - 2p9i - hql - U, 2/(9,) () ... a.

(9i - 92) (9i - 93)

(qi-q) (92-?i) (93 - 91) (93 - 92)

+

= 0.

Это уравнение имеет, очевидно, интеграл где положено

/(92)

92 +

/(9з)

2Si = 2a4-2P9.-f/г<7-£/ (г= 1,2,3).

Действительно, это выражение для W обращает в нуль каждый из трех членов уравнения с частными производными. Для нахождения траекторий приравняем теперь постоянным а и р частные производные от IF по а и р:

Г- 91 ,

VSifiqi) YSif(qi)

f 9i dqi , /" qidqi J VSifiqi) J

VSifiqo)

В частном случае, когда нет сил, т. е.

f/l = f/2=f/3=0.

dq?,

SJ(qs) 9з 9з

У5з/(?:,)

где Ul - функция одной только переменной q,, - функция одной только переменной qi и 6з -только переменной q. Имеем





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163 164 165 166 167

0.0038