Главная Промышленная автоматика.


что показывает, что С равно ЫР, т. е. углу .между радиусами-векторами перигелия и восходящего узла.

307. Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, обратно пропорционально квадрату расстояния. Задача движения точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния, была впервые приведена к квадратура.м Эйлером для случая плоского движения. Лагранж дал общее решение, которое Якоби связал с методами интегрирования, излагаемыми в этой главе. Эллиптические квадратурь!, встречающиеся в интегралах, далч .Лежандру важный пример для приложения его теории эллиптических интегралов.

Это.му же вопросу посвящены диссертации Серре, Дебова и Андраде *) (во Франции) и работа Кёнигсбергера (в Германии), озаглавленная <:De motu puncti versus duo centra attracti> (Берлин, 1860) и содержащая приведение эллиптических интегралов к функциям е.

Примем за ось Ох (рис. 178) прямую, соединяющую оба притягивающих центра Ох и Од, за начало координат - точку, лежащую посредине между

ними, и обозначим через 2с расстояние ОО,. Пусть Оух и Ог(-две другие неподвижные оси, образующие с осью Ох прямоугольный триедр. Для определения положения в пространстве движущейся точки М. введем сначала угол 9, который образует плоскость МОхО,, проведенная через дси-жущуюся точку и ось Ох, с плоскостью хОух, этот угол измеряется углом между осью Оух и следом Оу плоскости тОхО, на плоскости УхОгу.

Определив таким образом плоскость уОх, мы обозначим для фиксирования положения движущейся точки на этой плоскости через л: и у ее декартовы координаты ОР и 0Q относительно осей хОу и через Qx и ее эллиптические координаты в той же плоскости, определенные системой софокусных конических сечений с фокусами О, и О, (п. 287). Координаты точки М относительно неподвижных осей суть х, ух, Zy, и мы имеем

У1 = у cos 8, Zx - у sin 9. Отсюда для квадрата линейного элемента получаем

ds" = dx" + dyl + dz\ = dx + dy2 + у2 rfel

Если мы теперь воспользуемся для определения положения точки {х, у) в плоскости хОу эллиптическими координатами qx и q,, являющимися ivop-нями уравнения

х"- , у2


Рис. 178.

а - 1

1 = 0 (а - 6 = с2).

*) Andrade, Journal de IEcole Poiytechnique, вып. 60, 1890.



ТО по установленным ранее формулам (п. 287)

v"- (а-g,)(a -go) „ (b - q,) (b ~ q) - ba • У - Jb-

dx"- + dy"- = 1- (iVi dql + No dq%

имеем:

Следовательно, в рассматриваемой системе координат квадрат линейного элемента равен

ds"- = 1 (Л\ dql + Ni dql) + у df,

где Ni, Ni и у2 должны быть заменены их выражениями через q, и qi, написанными выше.

Примем массу точки за единицу. Тогда кинетическая энергия будет

где е и 9 играют роль параметров q и q. Если через г, и /-j обозначить расстояние от движущейся точки до обоих фокусов, то алгебраические значения сил притяжения со стороны этих фокусов равны - и -а сумма

их элементарных работ Sr--1- Ьго есть полный дифференциал силовой

г- rl

функции

£7 = + . fi ri

Но так как квадрат большой полуоси эллипса, проходящего через точку М, равен а - q,, то сумма г, + ri расстояний от точки М до обоих фокусов будет

1 + 2 = 2 - q,.

Точно так же квадрат поперечной полуоси гиперболы, проходящей через точку М, равен а - qi, и мы имеем

1 -2 = 2Уа -?2.

откуда

ri = Y а - qx-\-Y а - qi, ГоУ а -q, - \ а--qi.

После приведения к общему знаменателю, получим

11 I 12 U2-U1 Г1 qi-qi

где для краткости положено

Ui = - (i4 + iii)Ya - qb Ui= - (i + i-i) /й - qi, так что Ul зависит только от (7,, а Uo - только от qi, что весьма суще-



Pi=jNiq[, Pi=N,q,, /g = у V.

Разрешая эти уравнения относительно q[, и в и подставляя затем в функцию Гамильтона Н- Т-U, получим

2р1 2р1 р1 ц и

Заменяя Ni, N, и у их значениями в функции q \i qn замечая, что можно написать

1 а-Ь а-Ь I \ 1

у2 (6 - q,) {b - 9з

мы представим окончательно функцию Н в виде

а - Ь / 1 1 \

42-Я\ \ b - qi b - q,j

92-«I

2/(9i)р\- 2/(?2)р1 + - j~}pI-U, + иг

92 - 91

Теперь легко написать уравнение Якоби; мы напишем сразу уравнение для W, получающееся, как и раньше (стр. 481), путем подстановки V = - ht-\-W;

Можно найти полный интеграл вида

W = a% + Ri + 2.

где Ri зависит только от q, а R, - только от q,. Действительно, подставляя в предыдущее равенство это выражение W и освобождаясь от знаменателей, мы получим для определения и /?2 уравнение, которое можно написать в виде

где правая часть зависит только от q, а левая часть - только от q,. Так как в уравнении с частными производными параметры qi и q, являются независимыми переменными, то единственный способ, которым можно удовлетворить этому последнему соотношению, не устанавливая зависимости между q, и q,, заключается в приравнивании каждой части в отдельности одной и той же постоянной 2р. Разрешим после этого полученные таким

образом уравнения относительно и Тогда, полагая

dqx dq.

ственно для дальнейшего. Вспомогательные переменные р, р,, р равны здесь частным производным от Т по q, q, п Ь :





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [160] 161 162 163 164 165 166 167

0.0036