Главная Промышленная автоматика.

Полагая стремящимся к нулю, получим для проекций ускорения MJ в момент t значения:

(Рх (Ру <Г-г df- de- dfi

Годограф. Понятие ускорения можно легко свести к понятию скорости. Проведем через произвольную фиксированную точку А вектор Am, равный и параллельный скорости MV движущейся точки в момент t (рис. 33, б). Когда t изменяется, вектор Am также изменяется и его конец образует новую движущуюся точку, описывающую траекторию Л, которая называется годографом. Скорость mj этой новой движущейся точки в каждый момент времени равна ускорению точки М. В самом деле, в момент t->i~At точка т занимает положение т, причем вектор Ат равен и параллелен вектору MjVx или MU. Поэтому вектор mmi равен и параллелен вектору VU или МН. Средняя скорость точки т за

время Д есть вектор mt, направленный по тт и равный .

Эта средняя скорость ml равна, следовательно, и параллельна среднему ускорению Ml точки М. Переходя к пределу, когда Д стремится к нулю, мы видим, что скорость mJ точки т в момент t равна ускорению MJ точки М в тот же момент времени.

Пусть, например,

X = аР + Ы + с, y = aP + bt + c, 2 = a"fi + b"t + c", (1)

где а, Ь, с, а, Ь, с, а", Ь", с" - постоянные. Тогда траекторией будет парабола.

Проекции скорости будут

g? = 2ai-f6, g = 2a7 + *, ~2a"tb", (2)

а проекции ускорения

§=. g=.,

Последние, как видно, постоянны. Следовательно, ускорение будет постоянным по величине и направлению. И, наоборот, если в каком-нибудь движении ускорение постоянно по величине и направлению, то это движение определяется уравнениями вида (1). Действительно, исходя из уравнений (3), последовательным интегрированием придем сначала к уравнениям (2), а затем к уравнениям (1). Такое движение будет подробно изучено дальше при рассмотрении движения тяжелого тела в пустоте.

Важно заметить, что если ускорение движения постоянно по величине и направлению, то и среднее ускорение за произвольный промежуток времени будет иметь ту же самую постоянную величину и направление. Действительно, если уравнения (3) выполняются, то, ийтегрируя их, получаем уравнения (2), из которых для проекций среднего ускорения за время получаем те же значения 2а, 2а, la", что и для проекций ускорения в момент t.

В этом примере годографом является прямая линия, движение по которой будет равномерным.



42. Касательное и нормальное ускорения (Гюйгенс). Рассмотрим какое-нибудь движение, заданное геометрически траекторией и выражением дуги ММ или s в функции времени, причем отсчет на этой дуге принимается положительным в каком-нибудь определенном направлении MqS (рис. 34).

Пусть а, - направляющие косинусы (относительно прямоугольных осей) касательной МТ к траектории, проведенной в сторону

положительного отсчета s, а а, f - направляющие косинусы главной нормали, которая считается положительной от М к центру С главной кривизны. Пусть, наконец, МС = р есть радиус главной кривизны траектории.

По известным формулам Серое-Френе имеем

ds р ds р ds р Далее, очевидно.


Рис. 34.

dx ил WO иу г. "Л UlC иа

dx ds "dsW

ds dy

ds dz

Дифференцируя еще раз по времени и замечая, что

da dt

dads "dsdt

a ds

"fdf

получим для проекций ускорения

dtdt P \dt)

y dt

2 P rfaT p \dt) dt da -Г p \dt ) •

Эти формулы легко интерпретируются. Отложим на касательной, принимая МТ за положительное направление, отрезок MJf,

алгебраическое значение которого равно Jt - ~ нормали MN 1 (ds\

отрезок MJ, равный у . Тогда формулы показывают, что проекции ускорения на каждую из трех осей равны суммам проекций геометрических величин MJ и MJ. Следовательно, в пространстве ускорение MJ есть результирующая величин MJ и MJ, которые называются касательным и нормальным ускорениями. Проекция Jf.



ускорения MJ на касательную МТ после замены через v напишется так;

t~~ dt ~~ dt ds dt~ 2 ds Проекция У„ на нормаль МС всегда положительна:

р \dtj - р •

Ускорение MJ расположено, следовательно, в соприкасающейся плоскости и направлено в сторону вогнутости траектории.

Примеры. 1°. Если движение прямолинейно, то р равно бесконечности и нормальная составляющая обращается в нуль. Ускорение совпадает тогда с касательной составляющей. Наоборот, если нормальное ускорение везде нуль, то р обращается в бесконечность и траектория есть прямая линия.

2°. Если скорость постоянна по величине, т. е. если криволинейное движение является равномерным, то касательное ускорение равно нулю. Тогда ускорение направлено по главной нормали и изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны. Так, если точка описывает окружность радиуса R с постоянной по величине скоростью v, то касательное ускорение равно нулю; ускорение / будет нормальным и равным vjR, т. е. постоянным по величине и направленным по радиусу. Наоборот, если в каком-нибудь движении касательное ускорение все время нуль, то скорость будет постоянной по величине и движение будет равномерным.

Применение векторных производных. Можно говорить, что вектор скорости MV движущейся точки М есть векторная производная по времени вектора ОМ, соединяющего неподвижную точку О с точкой М. Это вытекает из самого определения скорости.

Вектор ускорения MJ геометрически равен производной вектора Am, имеющего начало в неподвижной точке А и геометрически равного вектору скорости. Это вытекает из определения ускорения при помощи годографа.

И. Поступательное движение и вращение неизменяемой системы

43. Поступательное движение. Неизменяемой системой или твердым телом называется совокупность точек, неизменно связанных между собой.

Твердое тело движется поступательно, если оно перемещается таким образом, что все отрезки прямых, соединяющих попарно точки тела, остаются параллельными самим себе. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы триэдр, получающийся от соединения какой-нибудь точки А тела (рис. 35) с тремя другими его точками В, С п D, не лежащими с Л в одной плоскости, перемещался параллельно самому себе.

Когда тело движется поступательно, все его точки имеют одинаковые скорости и наоборот. В самом деле, пусть Aix, у, z) и 2(2, У2, Z2) - две произвольные точки тела. Так как отрезок Л1Л2 перемещается параллельно самому себе, то его проекции





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038