Главная Промышленная автоматика.

Эта величина ds действительно имеет форму, данную Лиувиллем, причем

Л, =

(a~-q,)(b - qO(c - qO

(а - 9,) (b - qo) (с - q)

Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив q, и в виде однозначных функций некоторого параметра.

Более подробные сведения о поверхностях Лиувилля можно найти в «Lefons sur la Theorie generale des surfases* Дарбу (часть 3, глава !) и в премированной работе Кёнигса (Savants etrangers, 1894).

IV. Движение в пространстве

306. Движение планеты в сферических координатах по Якоби («Vor-lcsungen», лекция 24). Примем за плоскость ху плоскость эклиптики, за ось X - прямую, соединяющую Солнце с точкой весеннего равноденствия, и определим положение планеты ее сферическими координатами г, <f, , где 4» - долгота планеты, а - ее широта (рис. 177а). Оси ориентированы, как

в астрономии. Переменные г, <f, ф играют роль параметров q,, q, q.

Для силовой функции имеем U = - , причем масса планеты принята равной единице. Из выражения ds" в сферических координатах непосредственно имеем


Г = -i- -f ГЗср2 + г2 4/2 C0S2 ср).

Далее

дТ дг

Рис. 177а.

Подставляя найденные отсюда значения г, ср, Y в Т, получим

=--1(1+4+ Г2 cos

Следовательно, уравнение с частными производными для W будет 2

\ аг j Г2 \ Йср j + Г2 C0S2 cp \ j .

= + л.

Для данного частного вида уравнения (1) можно найти полный интеграл в виде

где /?, Ф, 1 являются соответственно функциями переменных г, су, i.



и конечные уравнения движения имеют вид т. е.

12 C0S2 (р

r/2h+-< /а--

C0S2,]/ G2 ,

(II)

COS-! ср

/ -у. = = t-ta. (Ill)

Два первых уравнения, не содержащих t, определяют траекторию. Чтобы дополнить решеяие, укажем на смысл входящих в эти формулы постоянных.

Для того чтобы W удовлетворяло уравнению (1), необходимо, чтобы было

Это уравнение после выделения членов с г можно написать таким образом:

Левая часть зависит только от tp и ф, а правая только от г, следовательно, это равенство возможно лишь в том случае, когда каждая часть в отдельности равна одной и той же постоянной величине G, так как в уравнении (1) переменные г, <f, \ независимы. Следовательно, имеем

Ф2 J--1 11Г2== (33

C0S2 tp

= {CP- ф2) cos2 (p.

Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы увидим, что обе части последнего равенства должны в отдельности равняться одной постоянной Z.2 вследствие чего

Ф2 = 02--ф Гт/"ог--

COStp J г C0S2(y

Таким образом, полный интеграл уравнения (1) есть



Следовательно, корни подкоренного выражения должны соответствовать максимуму и минимуму радиуса-вектора; поэтому эти корни равны а{1-\-е) и а(1-<?) и на основании зависимости между корнями и коэффициентами получаем

Л = , 0"-=.1ха(\ -e"-) = iip, G=V№-

Найдем теперь смысл величины L. Для того чтобы из уравнения (П) .можно было получить вещественное значение для когда задана функция ср, необ.\одимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

G3-->0

COScp

и для каждого значения ср, удовлетворяющего этому условию, соответствующее значение ср, определяемое из уравнения (I), должно быть обязательно вещественным, так как орбита является вещественным эллипсом. Поэтому ср

имеет верхний предел arccos и может этого предела достигать. Но, очевидно, что наибольшим значением угла ср является угол / между плоскостью орбиты и плоскостью эклиптики, и мы должны иметь

= cos г, Z = У ,4/? cos/.

Нам нужно теперь установить нижние пределы интегралов. Мы примем для этих пределов г = а(1-е), что соответствует перигелию, и ср = О, что соответствует узлу /V. Тогда уравнение (III) показывает, что 4 есть время прохождения через перигелий, а уравнение (И),- что % есть долгота узла.

Для вычисления С допустим, что планета находится в перигелии. Тогда уравнение (1) обратится в следующее:

COS ср

где ср, - широта перигелия. Прини.мая во внимание соотношение L = G cost, .мы можем написать

или, интегрируя,

arcsin

/ cos ср </ср

У C0S2 ш - C0S2 /

) = С Sincfi =

sin ср,

\ sin i

Sin / sin С.

Пусть N к Р (рис. 1776) являются точка.ми пересечения радиусов-векторов восходящего узла и перигелия со сферой радиуса 1, имеюи;еп центр в точке О, а PQ = <fi - широта перигелия. В треугольнике NPQ имеем

sin ср 1 = sin NP sin /,

Мы знаем, что для планеты орбита является эллиптической; наибольший и наименьший радиусы-векторы, соответствующие афелию и перигелию, равны а{\-{-е) и а(1-<?); с другой стороны, уравнение ПИ) показывает, что





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038