Главная Промышленная автоматика.

~i).ds

так как а и а зависят от Го и

да д<} Х - Гд да Х - Гр

дГо дго р (Го ~~ дГо~ р

Выражение под знаком интеграла представляет собою производную от

+-9- f

s + го 2

и уравнение траектории после приведений принимает вид

Приведем это уравнение к такому виду, чтобы оно содержало только расстояния от движущейся точки до двух неподвижных точек О к А. Исходя из тождеств

,2 2 г2

p2=2jr/-o -rg, х - Го= °

2/-0

-ro 2V">- + rg + p (д + Го)(-а + о)

р 2рГо 2р/-,

£-Гр Гр+Г-Гд Г (а-Го) (о + Гр)

Р 2рГо 2р/-о

напишем уравнение

Р Г а -f /-0 2

р К a-f Го 2

где й - новая постоянная. Это является, следовательно, уравнением траектории в биполярной системе координат с полюсами в точках О и А.

Такой вид уравнения непосредственно показывает, что траектория прог ходит через точку А, так как, освободившись от знаменателя р и положив р = О, г = Го и, следовательно, а = а - Го, мы, очевидно, удовлетворим этому уравнению.

На основании того, что мы знаем о движении планет, это уравнение представляет собою коническое сечение, род которого зависит только от знака постоянной Л кинетической энергии (п. 227).

Чтобы вычислить время, затрачиваемое планетой для достижения какой-нибудь точки ее орбиты, достаточно написать второе из уравнений (3),

Первое уравнение представляет собою траекторию. Написав его в развернутом виде, найдем:



Эта формула выражает через радиусы-векторы лир время, отсчитываемое от момента, когда планета проходит через точку А, так как в этой точке р = О, а = а и t - обращается в нуль.

В случае параболической орбиты h равно нулю (п. 227). Тогда получается формула, установленная Эйлером, но часто несправедливо приписываемая Ламберту. В этом случае

TjT- о) = (+P + >-o)-(r-p-fro)

Эта формула определяет время, затрачиваемое точкой для перехода из положения А в положение М, выраженное в функции радиусов-векторов /-q и г точек А и М и хорды AM = р.

Следует заметить, что в этой формуле перед вторым корнем надо сохранять знак минус до тех пор, пока корень не обратится в нуль, т. е. до тех пор, пока угол АОМ остается меньше 180°, так как в треугольнике АОМ сторона р может стать равной сумме двух других сторон только тогда, когда угол АОМ становится равным 180°. После этого нужно изменить знак второго корня. Эта формула играет важную роль в методе Ольберса определения орбит комет (см. Тиссеран, Mecanique celeste т. 1, стр. 114). В случае, когда h отлично от нуля, формула (5) после квадратуры представит собою обобщение формулы Эйлера на случай эллиптических и гиперболических орбит, данное впервые Гауссом. {См. Якоби, Vorlesungen uber Dynamik, лекция 25.)

305. Геодезические линии поверхностей Лиувилля. Приложение к эллипсоиду. Лиувилль заметил, что можно при помощи квадратур найти геодезические линии поверхностей, для которых квадрат линейного элемента, при подходящем выборе параметров и д, может быть представлен в форме

*2 = Ai) {в, dql - В., dq,

где Ai и jBj зависят только от д,, а А а Во,- только от д. Чтобы получить геодезические линии, достаточно найти траектории материальной точки массы 1, движущейся по поверхности и не подверженной действию никакой силы. Тогда

T = {A-A2){B/-Bq).

1 1

2Ai-Ai\Bi bJ-

которое на основании значения W представится в виде легко вычисляемой квадратуры



Уравнение геодезических линии будет тогда - а , а время опре-

делится из формулы t - to =

dh •

f ==dq,+ f -=dq, = a., (1)

a,Yb, . r a,Yb,

J Y2(hA,-\-a) J

dq.

Y2(hAi + a) J Y2(hA2 + a)

Так как по теореме кинетической энергии скорость точки постоянна, то

ds = Y2h dt, s - So = Yh (t - o)-

Второе соотношение определяет дугу геодезической линии. Приложим этот метод к эллипсоиду. Пусть

х2 Ф zi

- + --1=0 (2)

- уравнение эллипсоида с тремя неравными осями. Рассмотрим софокусные поверхности

xi \i zi

Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям q, qo, q величины X (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению X = О (уд = 0), и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям q и q, величины \. Мы примем эти два параметра q, и q, за координаты точки М на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые q, = const, и = const, являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины ds в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида

dsi = 1 {Ml dq\ + М, dq\ + Жз

Так как сейчас q - О, то dq = 0. Тогда, заменяя М, и М, их значениями при 9з = О, получим

Чх dq\ ?2 dql

dsi=UZUl

4 L(a ---?i) (a - q2)(b - qi){c - qi).

Уравнение Якоби, если в нем положить V = - htW, будет, следовательно, или

Приравняв каждую из этих двух величин одной и той же постоянной 2а, легко получим полный интеграл W, образованный су.ммой двух функций, из которых одна зависит только от q, а другая только от q,. Этот интеграл есть

= J У 2Ву {hAx + а) dq, 4- J YiB,{hA, + a) dq,.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041