Главная Промышленная автоматика.

касаются прямой с ординатой 2g являющейся геометрическим местом их вершин. Кривые W= const, суть полукубические параболы (рис. 176)

ах - (2Л - а2 - 2у) 2 = const..

получаемые все из одной поступательным перемещением, параллельным оси Ох. Все эти полукубические параболы нормальны к прямой АВ с ор-


Рис. 176.

2Л -а2

динатой -- , и эти прямые являются геометрическим местом их точек

возврата. Они ортогональны к предыдущим параболам на основании теоремы п. 301.

303. Центральная сила - функция расстояния. Мы видели (п. 296), что если начало координат взять в центре сил и если силовая функция равна W (г), то в полярных координатах гиб функция Н будет иметь вид

Я = 1(.? + )-*-(г).

Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее W, для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида:

Так как в это уравнение не входит явно в, то будем искать интеграл в виде

IF = afl + /?,

где R зависит только от г. Тогда нужно, чтобы эта функция R удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению

откуда находим

2(W + h)-~dr.



Следовательно, полный интеграл уравнения Якоби для W имеет вид W = oib + 2

2(W + h)--dr

и конечные уравнения движения будут

.2/" 2{W + h)-l

2(Ч + Л)--2

Первое уравнение определяет траекторию, а второе - время, необходимое точке для достижения заданного положения на этой кривой.

Значения и р,, если это понадобится, найдутся из равенств:

2{1Р+Л)

Рг =

Последнее уравнение показывает, что а есть не что иное, как постоянна:я площадей, так как р, равно гб.

Из теоремы кинетической энергии мы знаем, что Н должно оставаться постоянным в течение всего времени движения. Мы можем проверить это предложение, воспользовавшись полученными сейчас формулами. Действительно, если мы в вы- I/ ражении

-VF(r)

заменим переменные р и р, их значениями, то получим

• Ч = л.


Рис. 177.

что и подтверждает, что h действительно является постоянной интеграла кинетической энергии, как мы это доказали ранее.

Траектории, получающиеся при изменении а, что равносильно вращению одной из них вокруг полюса, ортогональны к кривым W = const.; эти кривые также получаются вращением какой-нибудь одной вокруг полюса.

304. Уравнения движения планеты в форме Якоби. Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость ху и обозначим через г расстояние МО от планеты до Солнца (рнс. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения

так как сила притяжения равна - и поэтому силовая функция равна ~ .

Следуя методу предыдущего примера, мы найдем полный интеграл, который будет уравнением движения планеты в классической форме.

32 Зак. 851. п. Аппель, т. I



Якоби нашел другой полный интеграл следующим образом. Пусть А - произвольная точка на оси х и OA = Го. Обозначим через р расстояние МА,

так что

Р = У"(л:-/-о)2 + у2, г = >х24-у2,

и положим

а = /-+?, а = Г -р.

Покажем, что функция

представляет собою полный интеграл уравнения (1) с произвольной постоянной /-о> отличной от аддитивной. В самом деле, так как а и а зависят от х и у через г и р, то имеем:

дх dW

откуда, возводя в квадрат, складывая и замечая, что члены, содержащие произведение двух квадратных корней, уничтожаются, получаем

()+(f)=[-

2х(х-/-о) + 2у2

2л:(х-/-о)+2у2

В этом выражении коэффициент при Л равен двум; чтобы вычислить коэффициент при (л, заметим, что имеем тождественно

g 2х(л:-Го) + 2у2 2pr-r-p4->-g (а-f гр) (а- Гр) гр гр гр

2х(Х-Го)Ч-2у2 2р/-Ч- + р-Г0 (а + ГоХа-Гр)

2fi,

откуда найдем, что члены с fx приводятся к у.

Таким образом, мы убеждаемся, что функция W является интегралом уравнения Якоби (1) с постоянной Гд. Уравнения движения в конечной форме теперь будут

dW . , . dW

= k. t-to =

dh •





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0044