Главная Промышленная автоматика.

которая получается, если ж и р подобраны так, чтобы эта траектория проходила через рассматриваемое положение движущейся точки. Следовательно, все траектории, получающиеся при изменении а и р, нормальны к поверхностям W = const. Это и является геометрическим свойством траекторий, установленным выше в общей системе координат i, q,, q.

III. Плоское движение. Движение по поверхности

301. Общие положения. Очевидно, что все вышеизложенное прилагается к движению на плоскости или к более общему случаю,- движению на поверхности, при условии использования двух координат q и q, вместо трех. Функция

Н = К-и =pq\+p,q,-T - U зависит тогда от р,, р,, q, q, и t, и уравнение Якоби имеет вид

Если известен полный интеграл Viq,, q,, t, а, а, с двумя произвольными постоянными а,, а,, из которых ни одна не является аддитивной, то конечные уравнения движения будут

и дУ .

дУ дУ

Pi-dqr P-lr

Если система координат q, q определена независимо от времени и если функция U не зависит явно от времени, то время t не будет входить в коэффициенты уравнения (J). Тогда можно положить

1/ = -Ai-f-U7(9j, q, а, А),

31 Зак. 851. П. Аппель, т. I

Эти формулы определяют проекции скорости точки, выраженные в функции ее координат через частные производные одной функции W. Так как эта функция удовлетворяет уравнению (J"), то

1.(;с2 + у2 4-г2) = ; + л,

что представляет собой не что иное, как интеграл кинетической энергии. Следовательно, Л, как мы уже видели, является постоянной интеграла кинетической энергии.

Мы можем, между прочим, легко проверить геометрическое свойство траекторий. Дадим постоянным а, р, Л какие-нибудь определенные значения. Написанные выше выражения для х, у, г через частные производные функции W показывают, что в каждой точке (л:, у, г) скорость нормальна к той из поверхностей W- const., которая проходит через эту точку. Но скорость касается той из траекторий

dW , dW



причем первое из них является уравнением траектории. Кроме того,

dW dW

Траектории, получающиеся при изменении а, нормальны к кривым W = const.

Рассуждения, совпадающие с изложенными ранее для движения свободной точки, позволяют установить и эту теорему.

Условие ортогональности скорости х, у, г и перемещения 8л:, Ьу, Ьг будет

х8х+у8> + 282 = 0. (а)

На поверхности в рассматриваемом случае будем иметь

Кроме того,

7-=(У+у+.")=[(,:+,;)+...].

Условие (а) можно тогда написать так:

dq, dq

Чтобы установить, что траектории - = а ортогональны к кривым

2. а. А) = const., (b)

достаточно показать, что скорость точки ортогональна к перемещению 81, 82 лежащему на этой кривой, т. е. к перемещению, удовлетворяющему соотнощению

-592 = 0. (с)

где Wijjy, «• f) - полный интеграл уравнения

с неаддитивной постоянной а. Уравнения движения будут тогда



X+-Y2h-ai-2gy = a.

Возводя это уравнение в квадрат, представим его в виде трехчлена второй степени относительно х, из которого можно определить у. Таким образом, мы непосредственно убеждаемся, что траектория (1) является действительно параболой с вертикальной осью. Что касается уравнения, определяющего t, то, исключив интеграл из равенств (1) и (2), мы можем написать его в виде

Это уравнение выражает, что горизонтальная проекция точки совершает

dW dW

равномерное движение. Кроме того, уравнения р = , р, = -щ- в данном

случае будут х = а, у = Y2h - а - 2у.

Траектории, соответствующие изменению а, получаются одна из другой поступательным перемещением, параллельным оси Ох. Все эти параболы

Но по теореме Якоби и -щ- равны " Рг и, следова-

тельно, условие (с) влечет за собой условие ортогональности (а).

302. Параболическое движение тяжелой точки в пустоте.

Примем, как и в п. 217, горизонтальную ось в плоскости траектории за Ось Ох, направленную вверх вертикаль - за ось Оу и введем декартовы координаты X п у. Полагая пг = 1, найдем U - - gy, и уравнение, определяющее функцию W, напишется так:

Так как х не входит в коэффициенты, то существует рещение вида

W = ax + <f(y).

Действительно, подставляя это выражение для W в уравнение, получим

-h + l[(a2+y)] + gy = 0,

откуда, разрешая относительно <р(у) и интегрируя по у для нахождения ер (у), получаем решение

W = ax + j Y2h- ai - 2gy dy.

Уравнение траектории будет тогда

dW , Г dy

д J Ylh - oi - 2gy

и время t можно определить из формулы

dW

dh -J Y2h-a-2gy

Выполняя квадратуру, получим уравнение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037