Далее

х - а A-a-Ya dqi dq, 2- dq

где 8, bq., bq - бесконечно малые вариации координат q,, q, qi, соответствующие перемещению 8х, Ьу, bz. Если вспомнить, что кинетическая энергия выражается в виде

Постоянная h будет тогда постоянной интеграла кинетической энергии. Действительно, уравнение (J) в силу значений вели-

чин -щ- д ~dq уравнении (Jj обращается в следующее:

H(Pi, Pi, Pi, Qi, ?2. <!з) - = 0,

т. е. в интеграл кинетической энергии (п. 295).

299. Геометрическое свойство траекторий. Докажем следующее геометрическое свойство: Если постоянным а, р, h придать произвольные фиксированные значения, а постоянные а, р изменять, то траектории, определяемые двумя первыми уравнениями (J), будут нормальны к поверхностям, имеющим уравнение W = const.

Эту теорему легко доказать, если воспользоваться декартовыми координатами, как мы это покажем в следующем пункте в качестве упражнения. Здесь мы докажем эту теорему в любой системе координат, чтобы иметь способ доказательства, который мог бы быть пригоден в дальнейшем при рассмотрении движения системы.

Заметим, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух бесконечно малых перемещений dx, dy, dz и ox, 8 у, bz имеет вид

dx bx-dyby-}-dzbzO.

Если мы, в частности, допустим, что dx, dy, dz являются действительным перемещением движущейся точки по траектории за промежуток времени dt, а 8х, Ьу, Zz - произвольное перпендикулярное к нему перемещение, то, разделив условие ортогональности на dt и обозначив через х, у, z производные от х, у, z по t, мы можем написать его в виде

x8x + y8;; + z82 = 0. (13)

При переходе от декартовых координат к новым координатам Цу, Чъ мь1 полагали

X = ср (9i, 2, 7з), y = {q„q2,q, z = 4>{qi, q, qz).

Отсюда

дд, дд, dq

или, на основании принятых ранее обозначений, в виде

РгЧ+РгЧ+РьЧ- (14)

Вернемся теперь к интересующей нас теореме. Мы хотим доказать, что траектория точки, определенная как указано в формулировке, нормальна к той из поверхностей

Wiq,, q,, дз, а, р, /г) = const., (15)

которая проходит через рассматриваемое положение движущейся точки. Для этого достаточно показать, что скорость х, у, г дви-щущейся точки перпендукулярна к любому перемещению bq,, bq,, Sgg, происходящему no поверхности (15), т. е. удовлетворяющему условию

-5+12+-8?з = 0. (16)

Другими словами, достаточно показать, что это условие (16) необходимо влечет за собой условие, ортогональности (14). Но это очевидно на основании теоремы Якоби, так как значения р,, р,, pg, вытекающие из этой теоремы [уравнения (J предыдущего пункта], будут

dW dW dW

P-JTr Р-д- Р~Ж-

Следовательно, условие (16) влечет за собой равенство (14) и скорость точки, будучи нормальной к любому перемещению, совершаемому по поверхности W - const., нормальна к этой поверхности.

300. Декартовы координаты в пространстве. Предположим, для простого примера, что q, q,, q обозначают декартовы координаты:

x = qb У = Чь г=дз,

/ Г Г Г f

X q, у =q,, z = q и примем для простоты массу материальной точки, равной единице. Тогда

Tix + y+z\

и если допустить, что существует силовая функция U ix, у, z), то функция Гамильтона будет

Я= Т-и.

то условие ортогональности (13), как это легко проверить, можно представить в виде

дТ . дТ I 5, „

- 81 + -т-г + -т 83 = 0.

Необходимо выразить эту функцию через переменные х, у, z и вспомогательные переменные р,, р, р, определяемые формулами

дх

так чтобы функция Гамильтона приняла вид

fi-jipl + pt + Pl)-U{x, у, Z). Вследствие этого канонические уравнения будут

dx dt

dPi dt

dy dt

dlh

dx dt

Pi. dU

= P2.

dz dt

dy dt

= Л.

dU dz

Исключение переменных p из этих уравнений приведет, очевидно, к обычным уравнениям движения.

Посмотрим, что дает в этом случае метод Якоби. Этот метод состоит в том, что нужно найти для дифференциального уравнения

дУ 1 dt 2

( dVY , / dV\4 , / dVl .

полный интеграл, т. е. интеграл, содержащий три не аддитивные постоянные. Так как время не входит явно в это уравнение, то можно положить

V= - ht+ W(x, у, Z),

где h - постоянная, и достаточно, чтобы функция W удовлетворяла соотношению

/aiF\2 .

(J")

Если для этого уравнения с тремя переменными будет найден полный интеграл

W(x, у, Z, а, р, Л),

содержащий две новые постоянные а и р, из которых ни одна не является аддитивной, то теорема Якоби показывает, что конечные уравнения движения будут

=. i=.8 ,+- = -„,

Два первых уравнения представляют траекторию, а последнее определяет время, затрачиваемое движущейся точкой для прихода в какое-нибудь положение на ее траектории. Кроме того, для р,, ро, р получаем значения

Pi =

дУ дх

Ро =

и так как р,, ро, р равны здесь х , то имеем

ду •

у, г

dW ду

P = -dF

а V равно - ht-\-W (х, у, z), dW