Главная Промышленная автоматика.

dadt • ( дУ\ дадду ( дУ \ дадд., / дУ \ дадд

\dgj [dgj

/тч дУ

так как левая часть равенства (J) зависит от я, через член и вели-

дУ дУ дУ „ ,о,,

чины -3- , -3-, -3-., входящие в Н. Это тождество (») в точности dqi дд, ддз

выражает то, что мы хотим доказать, а именно, что выражение (8) является тождеством, когда в нем р, р,, р заменены значениями (J,).

д Н 3 Н

Точно так же убеждаемся, что подстановка значений -, -з- , -

дрх др, дрз

вместо , , в два других уравнения (7) обращают их в тождества.

Мы доказали, что значения д,, д,, д, определяемые уравнениями (Jj),

dg., дН -

удовлетворяют уравнениям " = "1 остается убедиться в том,

что значения р,, р, р, определяемые уравнениями (J,), удовлетворяют уравнениям

dp., дН dt ~ дд.,

Проверим это для р,. Так как -щ- зависит от t непосредственно и через д,, д, дз, то из уравнений (J,) получим

dp, dW . dW dgi . д"-У dg, dW dg dt ~ dt dg\ dt dg, dq, dt dq dq dt

Требуется показать, что полученное выражение для совпадает

с выражением--в силу равенств (Ji) и (Jg). Но мы только что

dqx dq, rfg dH dH dH,

доказали, что -тг, , совпадают тождественно с д-, д-

dt dt dt dpi dp, дрз

подставляя эти значения в вышенаписанное выражение для и

приравнивая результат величине--dq~ "О-УЧим уравнение

div dW dH div dH dW dH dH

dqdt dql dp dqdg, dp. dqdq. dp dq

если в уравнение (J) подставить вместо v полный интеграл (С), ТО полученное от этой подстановки равенство будет тождественно равно нулю, каковы бы ни были д,, д,, д., t, а,, а,, йд. Частные производные этого равенства относительно каждой из величин Qv Яг Яз t 1. «2. будут также тождественно равны нулю. Напишем, что частная производная по а, уравнения (J) равна тождественно нулю:



которое должно быть тождеством в силу равенств (Jj) и (Jg). Покажем, как мы это делали выше, что оно тождественно удовлетворяется при замене р,, р, р значениями (Jj). Действительно, если подставить в левую часть уравнения Якоби (J) полный интеграл V, то результат такой подстановки будет тождественно равен нулю при любых значениях q,, q, q, t, а,, а, а. Следовательно, производная этой левой части по q, будет также тождественно равна нулю. Написав это, получим уравнение

dqi dt

dqi ,

дН dW

dH diV

dqi dq-2

\dq2J

dqi dq;

= 0, (90

выражающее, что равенство (9) обращается в тождество, если в нем

dV dV dV вместо pi, Р2, Ps подставить .

Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения (J). Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа: интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения (J) - эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой.

Примечание. Мы допустили, что система уравнений первой сте-

пени (7) относительно определитель

?1 dqi dqz dt dt dt

и.меет только одно решение, т. е. что

да, dq.

da, dqi

da, dqz

да-> dq.

dui dqi

дао dqz

d"-V

das dq.

daz dqi

daz dqz

не равен нулю. Но этот определитель является функциональным определи-dV dV dv

телем производных -, ~z-, -3-, рассматриваемых как функции от а,, ао. oq, oqi oqz

dV dV dV

flj. Если этот определитель равен нулю, то -577-, будут связаны

dqi dqo dqz

соотношением вида

dV dV dV

dqi dq., dqz

(10)

с коэффициентами, не зависящими от а,, ао, йд, т. е. являющимися функциями от qi, qo, qz, t. Но тогда функция V не будет больше полным интегралом уравнения Якоби, так как она удовлетворяет не только уравнению Ялоби, но еще и уравнению (10), которое не содержит t и поэтому отли-•1ается от уравнения Якоби. Но, как известно, существенным свойством полного интеграла является то, что по исключении содержащихся в нем постоян-



dt dq., dq,

мы получим для определения W уравнение

, , и (dW d)V dW \ „ ,,,,

Достаточно будет определить полный интеграл W {q,, q,, q, ol, p, h) этого уравнения (J), содержащий, кроме h, две постоянные а и из которых ни одна не является аддитивной. Тогда, приняв

V = ht + Wiq„ q„ q„ а, р, h),

получим полный интеграл уравнения Якоби с тремя постоянными а, р, h, играющими роль постоянных а,, а,, а.

Интегралы (Jj) и (Jj) уравнений движения, если через а, Р и - обозначить другие постоянные, играющие роль Ь,, Ь,, Ь, будут тогда иметь вид:

do. d? dh - 0 i-l)

dW dW dW

Первые два уравнения (J), не содержащие t, определяют траекторию движущейся точки в системе координат q,, q,, q. Третье уравнение определяет время, затрачиваемое для прихода в какое-нибудь место на этой траектории.

ных МЫ придем к заданному уравнению с частными производными, но не к какому-либо другому. Поэтому определитель Д не может равняться нулю (см. Г у р с а. Equations aux derivees partielles, стр. 97).

Из того, что Д не равно нулю, можно заключить также, что шесть постоянных, входящих в интегралы (J) и (J,) канонических уравнений, действительно различны, т. е. что можно определить а,, а?, аз таким образом, чтобы при =0 величины q,, q,, приняли произвольные значения, после чего можно определить Ь,, так, чтобы при t = величины pi, Р2, Рз тоже приняли любые наперед заданные значения.

298. Частный случай, когда t не входит явно в коэффициенты уравнения Якоби. Такой случай имеет место в механике, когда выражения х, у, z через q,, q,,, q. не содержат явно времени и когда имеется силовая функция U {х, у, z). Тогда, как мы видели в п. 293,

(Pi. Рг, Рз. Чх. Я2. Яз) = Т - и, (И)

где Т-квадратичная форма от р,, р, р- В этом случае можно удовлетворить уравнению Якоби функцией V вида

V-.~ht + W, (12)

где h - постоянная, а W - функция от q,, q,, q, но не от t.

Подставляя эту функцию V в уравнение (J) Якоби и замечая, что

dV dV dW





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036