Главная Промышленная автоматика.

г=рг, е =

Следовательно, выражение Н в этих новых переменных будет иметь вид

и канонические уравнения будут

р1 +

dr db Р2, dt di~W

dt г» + rfr

Эти уравнения определяют г, 6, и /?о в функции t. Из последнего

уравнения имеем р = С, и, подставляя во второе, получим г - - С, что

является уравнением площадей. Исключая р, из первого и третьего и заменяя р2 величиной С, получим уравнение

dfi гЗ

которое было выведено непосредственно в главе XI, как уравнение, определяющее движение по радиусу-вектору.

Теорема кинетической энергии выражается уравнением Т-U=h или Н = h.

П. Теорема Якоби

297. Теорема Якоби. В канонических уравнениях (6) Н является функцией второй степени относительно р,, р, Pz- Теорема Якоби справедлива для любых уравнений вида (6), в которых Н является произвольной заданной функцией от р,, р, Рз, д,, д2, д, t. Мы будем писать ее в виде Н{р,, п, р, д,, до, д, t), чтобы сделать явными входящие переменные. Основа теоремы Якоби заключается в том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик дифференциального уравнения с частными производными первого порядка

dV , rrfdV dV dV Л

Силовая функция U является функцией переменного г, т. е. U = " (г). Так как Т однородно относительно г и в, то

Я = Г - = 1 + г262) - Т (г).

Переменные и р2 определяются уравнениями

dT , дТ

Рх = -=г, р, = = гЧ\

откуда получаем



определяющего V в функции д,, д,, дз, t, рассматриваемых как независимые переменные. Левая часть этого уравнения получается, если

к члену добавляется функция, в которую обращается Н, когда

dV dV dV в нем заменяют р,, р,, р производными -, -j-, 75-.

oq, од, одз

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Якоби, подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом.

Выясним сначала, какую форму должен иметь общий интеграл канонических уравнений. Уравнения (6) образуют систему щести уравнений первого порядка, определяющих д,, д,, дз, р,, р,, р$. в функции t. Их общий интеграл представляется уравнениями вида

д = РЛ «1. «2> 3, Ь,, Ь,, Ьз), p = 0.,{t, а,, а„ аз, Ь„ Ь„ Ьз)

(v=l, 2, 3) с шестью произвольными постоянными а,, а,, Cj,. Ь,, Ь,, Ьз-

Уравнение с частными производными первого порядка (J) определяет некоторую функцию V переменных д,, gj, дз, t, рассматриваемых как независимые. Известно, что по Лагранжу полным интегралом уравнения с частными производными первого порядка называется решение этого уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, сколько в нем содержится независимых переменных. В рассматриваемом случае полный интеграл должен содержать четыре произвольных постоянных. Но уравнение (J) содержит только производные от V. Поэтому, если оно обладает каким-нибудь решением V, то оно будет иметь и другое решение У-(-const. Следовательно, для того, чтобы иметь полный интеграл, достаточно найти решение

V {д„ д,, ?з. «1. «2- «з) (О

с тремя произвольными постоянными а,, а,, Од, из которых ни одна не является аддитивной; тогда функция V-j-const, будет полным интегралом. Эта последняя постоянная, которую можно всегда добавить, не играет никакой роли в теореме Якоби. Последняя формулируется следующим образом: если для уравнения (J) найден полный интеграл вида (С), то конечные уравнения движения



дао,

da ~

. P2 =

dqo,

. Рз =

da, dt da, dq, dt da, dq dt da, dq dt

d--V , d"-V dq, d-iy dq2 . dW dq

dadt ~ dadq, dt daodq dt doodqz dt

dW азу dq, dW dqi dW dq q

duzdt dadq, dt dugdqi dt ~ dugdqg dt

Из этих трех уравнений первой степени можно найти dqo, dqz

и нужно убедиться в том, что значения этих производных

dt dt

удовлетворяют уравнениям (6), т. е., что они равны соответственно дН дН дН

производным • "dpi ~др~ " общем случае система уравнений первого порядка имеет только одно решение, то достаточно убедиться, что уравнения (7) удовлетворяются, если в них

dq, dqo dq. дН дН дН „

вместо -~, -подставить -3-, --, -3-. Достаточно, dt dt dt dp, dpi dpz

например, проверить, выполняется ли тождество

dw д"-у dH . dw dH , dw аяд

ai a da,dq, dp, da, dqo, dp da,dqz dpz

после того как в нем величины q,, q, qz, р,, р, Pz будут заменены их значениями в функции t и шести произвольных постоянных, полученными из уравнений (Jj) и (Jj). Но мы сейчас докажем, что это уравнение является тождеством относительно q,, 73, qz< t< 2. З если в нем заменить р,, р, Pz их значениями (Jj). В самом деле.

дающае общий интеграл системы канонических уравнений, будут

(Ji) (J2)

где Ь,, &2> 3-произвольные постоянные.

Три уравнения (JJ, разрешенные относительно q,, q, qz> определяют эти величины как функции времени и шести постоянных а,, а, «3, Ь,, Ь, bz- Если эти значения подставить в уравнения (Jj), то последние определяют р,, р, Pz в функции времени и тех же постоянных. Необходимо показать, что полученные таким образом выражения являются общим интегралом канонических уравнений

=f. =-f (=>-2.3). (6)

Уравнения (Jj) образуют систему трех совместных уравнений относительно q,, q, qz- t, определяющих q,, q, qz в функции t. Будем искать производные от q,, q, qz по t по теореме о неявных функциях, для чего продифференцируем уравнения (J,), рассматривая в них q,, q2, qz как функции t. Таким путем получим:

dW , d-V dq, , dW dqo , d"-V dq .





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039