то получим

Pi = = а,,д, + a,q, + aq, P2 = -~r = a,q[ + аф, + aq, Рз = 4 = + «322 + «33?r

293. Частный случай, когда выражения х, у, z через q,, q-j, не содержат явно времени. Вычисления упрощаются, если определение НОВЫХ координат q,, q, q не зависит от времени, т. с. если выражения х, у, г через q,, q, qs не содержат t. Тогда будет

к = т.

В самом деле, в этом случае Т будет однородной функцией второго порядка относительно q, q,, q и мы получим (пп. 261, 265, 283)

fdT ,дТ ,дТ dq dq, dq

Но на основании уравнений (2) левая часть представляет собой не что иное, как /7--рз + Рзг Следовательно,

К = РгЯ[ + 22 + РвЯг - Г= 2Г-Г=Г,

и функция Гамильтона Н принимает вид

т - и.

В этом случае преобразования, которые надо выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через q, q[,, q, к форме Т, выраженной через р,, р,, р, совпадают с теми, которые надо выполнить для перехода от квадратичной формы к форме сопряженной, как, например, для перехода от уравнения конического сечения в точечных однородных координатах к его уравнению в однородных тангенциальных координатах.

Если положить

2Т fljf + «229f + «ззГ + 2с,М + 2а,з9; + 2аз, qq[, или в более сжатой форме

q[ = (АуР, + А,2Р2 + АзРз) (V = 1, 2,3),

н поэтому

2T = p,q,p,q:,p,q!, - "ТГЛ (гк ы)-

294. Примечание. Для того чтобы выполнить преобразование Гамильтона, нужно было предположить, что уравнения (2) разрешимы относительно 9g. Такое разрешение всегда возможно. Возьмем, например, случай, когда равенства, определяющие значения новых переменных, не содержат явно времени. Тогда Т будет однородной функцией второго порядка, т. е, квадратичной формой относительно q,, q, q<, и определитель из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (2) будет дискриминантом этой квадратичной формы. Если он равен нулю, то можно найти систему значений (j)",

(2) (3) qv чъ чъ> равных одновременно нулю, для которых все частные производные от Т относительно этих переменных обращаются в нуль. Но это невозможно, так как на основании соотношения

, дТ , дТ , , дТ dq, dq dq

эти значения переменных обратят в нуль и функцию Т, а так как Т является кинетической энергией, то оно не может обратиться в нуль при вещественных значениях q,, q, q, т. е. при действительном движении точки. Мы видим, таким образом, что рассматриваемый определитель действительно всегда отличен от нуля и разрешение уравнений (2) всегда возможно. Если выражения х, у, г через q,, q, q содержат явно время, т. е.

X = f (1, 90, 3, 0. У = Ф {Qb ?з. 0. г = <о (1, ?2, 3, t), то кинетическая энергия

J - Кх -f-y + J - 2 [\Qq 1+ dq-i dt )

не будет больше однородной относительно q[, q, qy Но определитель коэффициентов при qy, q, ?з в уравнениях (2) будет тогда дискриминантом квадратичной формы

„ т [( дч I , да , дт /\2

получаемой, если взять в Т члены второго порядка. Этот дискриминант не может быть равен нулю, ибо в противном случае функция Т, обращалась бы в нуль при вещественных значениях q,, q., q, не равных нулю одновременно. Но тогда существовало бы возможное перемещение точки, получающееся, если, оставляя t постоянным, изменить q,, q<>, q. и для этого

перемещения возможная кинетическая энергия -т----- была бы

равна нулю, что невозможно.

Отсюда, обозначая через D дискриминант квадратичной формы, т. е.

определитель девяти величин fljj., а через Л,-,; - ---минор, соответствующий элементу щ, получим

и остается

= 0 или Я = /г, или Т-U = h.

Если выражения х, у, z через q,, q,, q зависят от времени, то Н не будет больше равно Т - U и не будет существовать интеграл H=h. В этом случае Н будет содержать явно время и полная dH

производная -т-, взятая в предположении, что q,, q,, .q, р,, Pz, Рз dt

рассматриваются как функции t, будет содержать еще один член,

а именно: частную производную от функции Н по содержащейся

в ней явно переменной t, и после предыдущих сокращений получится

dH дН dt ~ dt

296. Пример. Центральная сила - функция расстояния. Приведем для примера к каноническому виду уравнения движения точки на плоскости под действием центральной силы, являющейся функцией расстояния. Примем центр сил за начало координат и введем полярные координаты гиб, которые будут играть роль параметров q, и q,, Полагая массу равной единице, получим для кинетической энергии выражение

7-=.1(г2 + г2е2).

295. Интеграл кинетической энергии. Мы видели раньше, что в случае, когда существует силовая функция U {х, у, г), имеется интеграл кинетической энергии вида

T - U = h.

Мы убедились в этом (пп. 261, 265, 283), предполагая, что выражения X, у, Z через q,, q,, q не зависят от времени. Таким образом, получается первый интеграл канонических уравнений, который может быть выведен из них непосредственным вычислением.

Чтобы убедиться в этом, предположим по-прежнему, что выражения X, у, Z через q,, q,, q не содержат t. В этом случае ни Г, ни и, ни Я, которое равно Г-U, не содержат t. Если теперь предположить, что в функции Н параметры q, q,, q и величины р,, р2, Рз заменены выражениями, которые они должны принять в функции времени в силу уравнений (6), то на основании теоремы о сложных функциях получим

dH дН dgx дН dq, . дН dq . dt dqx dt dq, dt ~ dq dt

I дН dp, . дИ dp, . дН dp

~ ~dp ЧГ ~ Jp ЧГ + Ip ~ж •

Ho" на основании канонических уравнений имеем

дН dq., дН dp., дН дН дН дН dq., dt ~ др., dt dq., др., др., дд,