Главная Промышленная автоматика.

ГЛАВА XVI

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЯКОБИ. ПРИЛОЖЕНИЯ

291. Историческая справка. Уравнения движения свободной точки или точки, движущейся по поверхности или по кривой как подвижным, так и неподвижным, были составлены Лагранжем в одинаковой для всех этих случаев форме с той лищь разницей, что число параметров, подлежащих определению в функции времени, равно трем для свободной точки, двум для точки на поверхности, и одному для точки на кривой (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что уравнения самой общей задачи динамики системы могут быть составлены в этой же форме, но число параметров будет каким угодно, при условии, что связи могут быть выражены в конечной форме и что эти параметры действительно являются координатами.

Излагаемые ниже преобразования и теоремы применимы только в том случае, когда проекции X, Y, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к точке, суть частные производные функции и {t, X, у, z), которая может содержать явно время Уравнения Лагранжа будут тогда иметь вид:

d id]i

dt\dq[) дд, ~~ dq. di

где V - 1, 2, 3 для свободной точки, v= 1, 2 для точки на поверхности и v = 1 для точки на кривой. Мы будем вести изложение, предположив для определенности, что точка свободна, v=l, 2, 3; тогда будут три уравнения и три параметра q,, q, q. Но, как мы увидим, выкладки не будут зависеть от числа уравнений (1).

Преобразование, начатое Пуассоном и законченное Гамильтоном, позволяет написать уравнение в форме, которая содержит частные производные только от одной функции и которая очень удобна для теоретических исследований.

Эта форма привела Якоби к замечательной теореме об интегрировании уравнений движения.



I. Канонические уравнения. Теорема Якоби

292. Преобразование Пуассона и Гамильтона. Пуассону принадлежит идея принять за переменные величины

дТ дТ дТ

dq, dq., dq

Эти уравнения, будучи линейными относительно q, q, q, так как Т есть квадратичная функция этих величин, могут быть разрешены относительно q,, q[,, q в виде:

<]\=/ЛЯ1, Яг- Яг. Ри Рг- Рз- 0.

92=/г(?1. Я2. Яз- Ри Pi Рг, t), \ (3)

Яг = /з{Я1 Я2 Яв Pi, Рг- Pi О-

Посмотрим, во что обратятся уравнения Лагранжа, если в них заменить q, q, q этими выражениями.

Прежде всего, первые члены уравнений (1) 4-А--т\ обратятся

м \ dq j

dp.,

просто в .

Для преобразования второго члена - дадим в выражении Т

переменным q,, q, q, р,, р, Рз произвольные бесконечно малые приращения bq,, Sj, bq, Зр, Ьр, Ьр, оставляя переменную t постоянной. При этом величины д, q, q. получат приращения Здг, bq!, bq, определяемые соотнощениями (3), в которых t остается постоянным.

Тогда функция Г, зависящая от q,, д,, q, Pi, р,, Рз и t, получит приращение ЪТ, определяемое формулой

557, дТ , дТ , дТ , дТ , , dT , , дТ , dq, dq., dq dq dq dq

или в силу уравнений (2)

i; +1 +Ч,+Pi Ц[+Р2 Ч+Рз Ч

что можно написать так

T = p,g[ + p.,q:,+ p.,q:) +

+ W>+W>-+- Ч-Я[ 8р. - Я, - Яз . Полагая для краткости

К = p4i + Р2Я2 + РзЯ2 - Т.

20 Зак, 851. П. Аппель, т. I



dt dq, dt dq dt dq

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они будут первого порядка и число их равно щести. Они определяют щесть переменных q,, q, qi, Pi. Рг, Рз в функции времени и щести произвольных постоянных. Для определения движения системы достаточно найти значения параметров д,, д, q в функции времени, так как только они участвуют в определении положения точки.

представим это равенство в виде

= - II- Ьд - - + д[ Ьр 4- ?2 Р2 + 9з 3/3 .

что является первым выражением для дифференциала ЬК. С другой стороны, допустим, что ЛГ выражено при помощи системы новых переменных д,, д, д, р,, Рг. Рз. t- Когда д,, д, д, Pi> Рг. Рз получают рассматриваемые произвольные приращения, тогда оК определяется формулой

о/С = 5 8?! + + 5 03 + 5 SА + + 5

Это выражение должно совпадать с первым, каковы бы ни были Ьд,, S2> Яз Vl- Pz Рз- Следовательно,

В этих уравнениях частные производные берутся в предположении, что Т выражено через д, д, д д[, д, д, а К выражено через Qi< ?2 Яз Pi Pt Рз- В силу уравнений (4) уравнения Лагранжа (1) принимают вид

dp, ,дК ди dq, дК 1 9 on /сч

Ж + -Ж-д, (v-1, 2, 3). (5)

Рассмотрим разность

Функция и, зависящая только от х, у, z, (, выражается через t и через переменные д„ д, д, в то время как К зависит от времени, от переменных q,, q, qz и еще от переменных р,, р, Рз- Таким образом, имеем

др., др., dq, dq., dq,

и уравнения (5), если полагать последовательно v=l, 2, 3, обратятся в следующие:

E?i = = 3 а Я.

dt dp, dt дро dt дря

dpi дН dpo дН dp dH





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [151] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004