Главная Промышленная автоматика.

J У"2Л - 2у ds.

Возьмем в плоскости две точки, из которых одна - начало О, а другая- точка Ml. Кривая, для которой действие от О до М, имеет минимум, есть одна из траекторий, по которой движется тяжелая точка, брошенная из О со скоростью Uo = Yh, причем так, что она достигает точки М. Если М находится внутри параболы безопасности - огибающей траекторий, выходящих из точки О, то существуют две траектории, ведущие из точки О в точку М,. Доказать, что относительный минимум имеет место для той параболы, для которой точка приходит в Мх до касания с параболой

Мы не станем входить в подробности этой теории, относящейся больше к геометрии, чем к механике, отсылая читателя к главам VI и VII второго тома сочинения Дарбу «Lefons sur la Theorie des surfaces*.

Мы верне.мся, однако, к этому принципу в аналитической механике.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Формулы Тэта и Томсона. Если взять две бесконечно близкие траектории АВ и АуВу, то вариация действия при переходе от первой ко второй будет

6 = - Y2(Ui+h)- ААх cos АВ - ]/"2 (/7, + Л) • ВВ, cos ВА,

где я являются значениями функции U в точках А и В [эта формула совпадает с установленной в п. 147, если только заменить tp выражением V2(U+h)\.

2. Теорема Тэта и Томсона (п. 147. 2°). Если из различных точек Мд поверхности S по нормалям к ней начинают двигаться одинаковые материальные точки, для каждой из которых силовая функция есть U, а настоящая кинетической энергии есть Л, и если на каждой траектории взять дугу ММ такую, что действие на участке от Мд до этой траектории имеет определенное значение, одинаковое для всех траекторий, то геометрическим местом точек Ml будет поверхность 5, нормальная к траекториям. Важный частный случай этой теоремы получится, если предположить, что поверхность S вырождается в сферу с нулевым радиусом. Тогда все траектории будут выходить из одной определенной точки Mq со скоростью, определенной по величине, но переменного направления.

Если потребовать, чтобы движение было плоским или происходило на поверхности, то формулировка, очевидно, останется той же, если заменить поверхности 5 и 5i кривыми.

Если и = 0, то эти теоремы переходят в классические теоремы о параллельных поверхностях или параллельных кривых на поверхности.

3. Свойство, аналогичное свойству разверток. Если рассматривать траектории АВ, нормальные в точке А к неподвижной кривой и касающиеся в точке В другой кривой D, и если обозначить через АВ и A"Bi два положения траектории, то можно высказать следующую теорему: действие вдоль дуги А"В" равно действию вдоль дуги АВ, сложенному с действием вдоль дуги ВВ" огибаемой кривой D.

Та же теорема имеет место и при движении точки на поверхности для траекторий, нормальных к неподвижной кривой.

Если и = а, то эти теоремы переходят в классические теоремы о развертках.

4. Приложить принцип наименьшего действия к движению тяжелой точки в пустоте в вертикальной плоскости (п. 217, рис. 139). Действие будет тогда иметь вид



*) Имеется русский перевод (ОНТИ, 19.36). (Прим. перев.)

безопасности (на рис. 139 это - внутренняя парабола) (правило Якоби). Если точка Ml достаточно близка к точке О, то дуга ОМ, внутренней параболы также дает абсолютный минимум для действия, но этого не будет, если точка Ml близка к параболе безопасности. Так, если точка Mi находится на параболе безопасности, например в точке А, то траектория OA по-прежнему дает для действия относительный минимум, но не абсолютный. Это можно доказать, опираясь на результаты предыдущего упражнения, если приложить их к параболе безопасности, которая рассматривается как обобщенная развертка точки О. (Рассуждения совпадают с теми, которые дал Дарбу, Lefons sur la Theorie des surfaces, ч. 3, гл. V.)

5. Если в предыдущем примере точка Mi находится вне параболы безопасности, то не существует траектории, идущей от О к Mi, но в то же время должна существовать кривая, обращающая действие между О и Afj в минимум. Доказать, что эта кривая образована двумя перпендикулярами, опущенными из точек О и Afj на прямую 2h - 2у = О и частью этой прямой, заключенной между этими перпендикулярами (результат, аналогичный результату п. 148).

6. Исследование траекторий тяжелой точки на вертикальной плоскости хОу производится так же, как исследование геодезических линий нз поверхности S, линейный элемент которой определяется формулой

rfs = (2/t - 2у) {dx"- + dy"-).

Доказать, что эта поверхность развертывается на поверхность вращения, и составить уравнение ме{зидиана. Если положить 2Л - 2у = и, 2gx = v, то вновь получится упражнение п. 271.

7. Приложить принцип наименьшего действия к движению планет и разрешить для этого движения вопросы, аналогичные предыдущим (4, 5 и 6). (См. Якоби, Vorlesungen iiber Dynamik *), лекция 6.)

8. Пусть <f{x, у, z) - положительная функция от х, у, г, а А и В - две неподвижные точки. Кривые С. соединяющие эти точки, вдоль которых интеграл J f(x, у, z)ds имеет минимум, суть: 1) фигуры равновесия нити, для которой натяжение есть <р, а силовая функция -ср; 2) брахистохроны

для точки массы 1, когда силовая функция равна -т--- , а началь-

f4(x, у, Z)

ная скорость в точке х, У(,, Zg равна -~; 3) траектории свободной точки массы 1 для силовой функции су2 (х, у, z) при начальной скорости,

)авной У2 • ср (.»:о. Уоо)- (См. Андуайе, Comptes rendus, т. С, стр. 1577; В и к е р, т. CV1, стр. 458.)

9. Те же теоремы имеют место и для кривых, проведенных на неподвижной поверхности и обращающих J ds в минимум.

10. Кривая, описываемая точкой под действием заданной силовой функции, обращающая в минимум интеграл v ds, где v = Y2{U~\-h), имеет

в каждой точке К радиуса кривизны р, направленный по той же прямой, что и радиус кривизны траектории, которую движущаяся точка описала бы, если бы она оказалась в положении /( свободной; при этом р = pj/Л и когда п < о откладывается в сторону, противоположную той, куда отложен радиус кривизны р,.

Наиболее интересным случаем будет тот, для которого л = - 1; тогда кривая будет брахистохроной. Таким образом вновь устанавливается связь



между траекториями и брахистохронами, указанная в упражнении 8. (В и к е р, Savants etrangers и статья Жор дана, Comptes rendus, т. CVIII, стр.330.)

11. Вывести из принципа наименьшего действия уравнения Лагранжа.

Возьмем, например, случай свободной точки, отнесенной к системе координат qi, q,, qs- Функция U будет функцией этих координат, а

ds = a,,dql+ ... +2a,dq,dq.,+ ...

Теперь нужно определить q,, qo, уц в функции вспомогательного переменного q таким образом, чтобы интеграл

fY2lu+h)dq

был минимумом. Делая в полученных уравнениях замену переменной по формуле (5) на странице 811, получим уравнения Лагранжа. Согласно упражнению 8 мы приходим, таким образом, к возможности приложения уравнений Лагранжа к фигуре равновесия нити. (Comptes rendus. т. XCVI, стр. 668.)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0619