Главная Промышленная автоматика.

С м м,

Рис. 30.

39. Произвольное прямолинейное движение; скорость. Рассмотрим произвольное прямолинейное движение, для которого х = ср (). Перемещение ММ, которое получает точка, когда t увеличивается на Д, есть геометрическая величина, алгебраическое значение которой равно Дх. Если в направлении ММ отложить отрезок М

О М М, V IV

Рис. 31.

<рис. 31), равный то вектор MW, алгебраическое значение

которого равно называется средней скоростью движущейся

точки за промежуток времени Д Если Д? стремится к нулю, то вектор MW стремится к предельному вектору MV, алгебраическое

значение которого равно производной или ср() и который называется скоростью точки в момент t. Например, если

xat-bt + c.

способа определения движения совпадут и движение будет определяться выражением абсциссы движущейся точки в функции времени.

Наиболее простым прямолинейным движением является то, для которого x есть линейная функция времени:

x=at-\-b,

где а и b - постоянные. Это движение характеризуется тем, что приращение Дл: величины х за произвольный промежуток времени Д пропорционально этому промежутку Д.

Пусть М - положение движущейся точки в момент времени t, & Ml - ее положение в момент t-\-t, где Д>0. Геометрическая величина ММ, если ее отсчитывать вдоль оси Ох, имеет алгебраическое значение, равное Дл:. Если в направлении ММ отложить

от точки М отрезок MW, равный то геометрическая вели-

чина MW, алгебраическое значение которой равно называется

скоростью равномерного движения (рис. 30). Алгебраическое значение этой скорости равно а.




где а, Ь, с - постоянные, то скорость MV в момент t будет иметь, алгебраическое значение, отсчитываемое вдоль оси Ох, равное

Изменение этой скорости пропорционально изменению времени. Говорят, что определяемое таким образом прямолинейное движение является равнопеременным.

40. Вектор скорости в криволинейном движении. Пусть М и Ж, - положения движущейся точки в моменты t и + Отложим на хорде ММ (рис. 32) в направлении ЖЖ, отрезок MW,

равный Вектор MW называется средней скоростью движу-

щейся точки за промежуток вре-

мени Д. Это -скорость, которую "

должна ииеть воображаемая точка, описывающая прямолинейно и равномерно отрезок прямой ЖЖ, за промежуток времени Д. Когда Д стремится к нулю, средняя скорость MW стремится к предельному вектору MV, касательному к траектории, который называется скоростью движущейся точка в момент t. Скорость есть полярный вектор, приложенный к движущейся точке.

Пусть x, у, г - координаты дви- Рис. 32.

жущейся точки. Проекции геометрической величины ЖЖ, на оси координат будут Дл:, Ly, Ь.г, и, следовательно, проекции величины MW, т. е. средней скорости, равны

Дх Ду Д£ Д7 М М

Если и стремится к нулю, то MW стремится к MV. Следовательно, для проекций скорости в момент t имеем:

dx dy dz

Ж dt dt

Допустим, что движение задано траекторией и выражением дуги ЖЖ = S в функции t. Так как отношение дуги ЖЖ, к хорде ЖЖ1 стремится к единице, когда Д стремится к нулю, то для абсолютного значения скорости получается

,. ЛШ, , ds

Если провести в направлении положительных дуг касательную МТ к траектории, то скорость будет направлена по МТ или в противоположную сторону к зависимости от того, будет ли величина



положительной или отрицательной. Следовательно, алгебраическое

значение скорости, отсчитываемой в направлении МТ, равно .

Если скорость V постоянна, то криволинейное движение называют равномерным.

41. Вектор ускорения. Понятие ускорения для простейших случаев введено Галилеем.

Пусть MV и MiV - скорости движущейся точки в моменты t и / + (рис. 33, а).


Рис. 33.

Проведем через М отрезок MU, равный и параллельный Му, и пусть МН-геометрическая разность векторов MU и MV, т. е. вектор, который необходимо приложить к MV, чтобы получить MU.

Если вдоль МН отложить длину Ml, равную то вектор Ml даст

среднее ускорение движущейся точки за промежуток времени Д. Когда bd стремится к нулю, этот вектор стремится к пределу MJ, который называется ускорением движущейся точки в момент t.

Ускорение есть, следовательно, полярный вектор, приложенный к движущейся точке.

Так как плоскость VMU переходит в пределе в соприкасающуюся плоскость, то ускорение MJ лежит в соприкасающейся плоскости.

Чтобы получить проекции ускорения на оси координат, заметим, что проекция скорости MV в момент t на какую-нибудь

ось, например на ось Ох, равна а скорость МУ- или вектор MU

имеет в момент t-\-N: проекцию на ту же ось, равную 5 + »

Проекция вектора МН, равная разности проекций векторов MU и MV,

будет, следовательно, Д Поэтому проекции среднего ускорения

Ml Л1Я

=-д равны

dt dt dt М At At





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037