Главная Промышленная автоматика.

Выражение ds квадрата элемента дуги на плоскости хОу будет

ds2= 1 (лг dgl + N.,dg%

Отсюда

дг Чг - Чх д, 41 -Чг

1 (g,-a)(q, - b) {д, -а) {д, -Ь)

Наконец, если силу F, действующую на точку Ж в плоскости дгОу, разложить на две составляющие, направленные по касательным к проходящим через точку М гиперэоле и эллипсу (рис. 175), то получим

Qi = -2-* --2-

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть гОг- вертикальная однородная ось, продолженная неограниченно в обе стороны. Все элементы этой оси притягивают материальную точку М пропорционально их массам и обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Кроме того, на точку Ж действует,ее вес. Исследовать движение, предполагая, что проекция начальной скорости точки М на плоскость MOz вертикальна. Траектория определится, если рассматривать ее как пересечение цилиндра, параллельного Oz, и поверхности вращения, имеющей Ог осью. Рассмотреть частный случай, когда начальная скорость горизонтальна (.тиценциатская, Монпелье).

2, В уравнениях равновесия свободной нити под действием силы, имеющей силовую функцию и(х, у, г), сделана замена переменной

j=dt, T-(U + h).

Эти уравнения обратятся в дифференциальные уравнения движения точки

с массой 1 под действием силы, имеющей силовую функцию -(f/+A)2.

Используя сказанное, распространить уравнения Лагранжа на равновесие нити, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию (Comptes rendus, т. XCVI, стр. 688).

Можно также получить либо непосредственно, либо как предельный случай предыдущих формул, формулы преобразования координат:

(я -gt) (а -до) „ (6 - д,) (Ь - д,) --Гй . У- -•



ГЛАВА XV

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

288. Принцип Даламбера. Принцип Даламбера позволяет свести процесс составления уравнений динамики к составлению уравнений статики.

Этот принцип, который мы здесь изложим для свободной материальной точки и для точки, движущейся по поверхности или по кривой, применим к любой задаче динамики. Он позволит нам подвести итог всей теории движения точки.

Рассмотрим материальную точку М массы т., находящуюся под действием сил, равнодействующая которых R имеет проекции R, Ry, R. Уравнения движения этой точки могут быть написаны так:

+ = -S + y = -"S+O-

Будем рассматривать наряду с векторами, представляющими при-ложенные к точке М силы, вектор Ml с проекциями -dfi

- "Ш -1 вектор, численно равный произведению

массы на ускорение и направленный противоположно ускорению, называется силой инерции, хотя это никоим образом не будет силой, приложенной к точке. Тогда уравнения выражают, что геометрическая сумма векторов MR и Ml равна нулю, или, что в каждый момент, времени существует равновесие между силой инерции и силами, действительно приложенными к точке.

Вывод уравнений движения из принципа Даламбера. На основании только что сказанного, для нахождения уравнений движения точки при любых условиях достаточно выразить, что имеет место равновесие между всеми силами, приложенными к точке, и силой инерции. Но это можно сделать методами статики. Можно, например, применить теорему о возможной работе. Для этого нужно различать среди сил, приложенных к точке, силы заданные и реакции связей. Через X, V- Z мы обозначим проекции заданных сил.

Чтобы написать, что существует равновесие между силами, действующими на точку, и силой инерции, достаточно написать, что на



всех ВОЗМОЖНЫХ перемещениях Ьх, Ьу, bz, допускаемых связями, существующими в момент f, сумма работ заданных сил {X, Y, Z)

/ dx d>y dizx

и силы инерции!- т, -"d -ш) Р нулю:

Следует различать три случая:

Г. Свободная точка. Ьх, Ьу, Ьг произвольны. Если, как в п. 282, применяется произвольная система координат д,, д,, д, то, заменяя д,, д.,, дз вариациями Ьд,, Ьд, Ьд, получим:

5. дх , дх , дх

где 8, Ьд, Ьд произвольны.

Подставляя Ьх, Ьу, Ьг в равенство (2) и приравнивая результат нулю при произвольных 8, Ьд,,, Ьд, получим уравнения движения в форме, указанной в п. 282, из которых мы вывели уравнения Лагранжа для свободной точки.

2°. Точка на поверхности. Пусть

fix, у, г, t) = 0

есть уравнение поверхности, которая для общности предполагается движущейся. Давая переменному t определенное значение, мы видим, что Ьх, Ьу, Ьг должны здовлетворять условию

dfbx-{-fby + fbz = Q, дх ду dz

выражающему, что возможное перемещение допускается связью, существующей в момент t. Если, как в п. 263, выразить координаты точки поверхности в функциях двух параметров, то получим

5. дх , дх

Ьх = Ьд, + Ьд„ ...

и соотношение (2) должно иметь место, каковы бы ни были Ьд, и Ьд. Таким путем получатся уравнения движения в форме (4) п. 263. 3°. Точка на кривой. Пусть

fix, у, г, 0 = 0, fxix, у, г, t) = 0

- уравнения кривой. Величины Ьх, Ьу, Ьг должны удовлетворять двум условиям





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0042