Главная Промышленная автоматика.

a - q\b--qi c - q.

f,=L----l-J-f---1=0

а - 9з b - q с - q

пересекаются ортогонально, так как условие

dhdfi dhdji dfidUQ дх дх ду ду дг дг

как это можно непосредственно проверить, идентично уравнению

--А = о. - q-t

три величины q,, qo, q называются эллиптическими координатами точки М {х, у, г).

Чтобы выразить декартовы координаты х, у, г через q,, q, q, заметим, что q,, qi, qz являются тремя корнями уравнения (1) относительно X, Поэтому имеем тождественно

X-i , у2 г2 J (Х-91){Х-92)(-9з)

а - X * - X С - X (а - X) (6 - X) (с - X)

(X - <!i)(.X~q2)(k - q)

Умножая обе части этого тождества на а - Хи полагая затем X = д, получим

, (д -gi)(a -gg) (a-qs) (b-a){e-a)

Если для определенности мы положим а> b > с, то при X < с уравнение (1) представит вещественный эллипсоид, при b >\> с оно представит одно-полостный гиперболоид, при а>\>Ь - двуполостный гиперболоид и, наконец, при Х> а-мнимый эллипсоид. Через каждую точку пространства проходят три таких софокусных поверхности. В самом деле, если х, у, г рассматривать как заданные величины, то уравнение (1), третьей степени относительно X, будет иметь три вещественных корня, из которых один меньше с, другой заключен между с и ft, и третий - между 6 и д. Это можно проверить, подставляя в левую часть уравнения указанные ниже значения X и замечая, что знаки левой части будут определяться следующей таблицей, в которой е - очень малое положительное число:

Значения параметра X......-оо с -г е-[-Е 6 -s Ъг й -г ai +00

Соответствующие знаки левой части уравнения (1) ......- -~ - 4- - - -

Положение корней........

Обозначим эти три корня в порядке убывания их величин через q,, q, q. В случае Х = q, получается двуполостный гиперболоид, в случае X = 2 -однополостный гиперболоид и в случае X = 3 - эллипсоид.

Как хорошо известно, эти три поверхности пересекают друг друга ортогонально. Например, две поверхности



1 dg.

1 dg

q - a

q-i - a

dqt I

dq-i

qi-b

92 -b

q-i-b

2-=

z qi - cq-i-cq - c

Отсюда для 4ds2 получится выражение вида

4 idx + dy2 + d2) = Alj dq\ + dq\ + Мз dq\.

В нем нет членов с dqdq,, так как поверхности пересекаются ортогонально. Легко проверить соотношение

= 0,

(а - 9i) {а - з) - (6 - з) (с - (с - г)

которое выражает, что коэффициент при dq dq, равен нулю. Величины Ai, М,, Afg имеют следующие значения:

1- (<7i-a)2 + (7i-*P + (91-с)з •••

Если взять производные от обеих частей тождества (2) по X и затем положить X = q,, то, заметив, что в результате этой подстановки все члены второй части, содержащие множителем X - q, обратятся в нуль и поэтому не будет надобности их вычислять, найдем

{Ч\ - д-) (gi - Уз)

где /(X) обозначает произведение (а -Х)(6-Х)(с -X). Точно так же получим

{Чг-дъ) (Q2-qi)

(li - qQigb - qi)

Заметим, что если, в частности, рассмотреть дугу кривой d пересечения двух поверхностей д = const, и Уз = const, (рис. 174), то дифференциал dsi этой дуги получится, если положить

dq, = = 0.

Отсюда

dSxVWidg,.


Рис. 174.

Точно так же найдем

(i> - Qi) (b - q,) (b - Qs) У ~ (c-b)(a-b) ,0 (c - q,) {c - go} {c - q) {a-c){b-c)

Вычислим теперь в этой системе координат выражение для as"-. Взяв логарифмические производные обеих частей написанных выше равенств, имеем:



Точно так же, обозначая через ds2 и dsg дуги кривых Cg и Cg, по ко-

торым пересекаются поверхности 9i = const., §.2 = const., получим

q, ~ const., 9з = const, и поверхности

Тогда дугу ds любой кривой можно рассматривать как диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами ds,, ds, ds. Величина Т выражается в виде

и уравнения Лагранжа теперь легко составить. Так как вид левых частей зтих уравнений очевиден, то ограничимся определением правых частей.

Разложим силу F на три составляющие F, F, касающиеся соответственно кривых Q, Со, Q, считая эти составляющие положительными в направлении перемещения точки М вдоль каждой из этих кривых при увеличении только одной эллиптической координаты и при сохранении постоянными

двух дрзгих. Сообщим точке М возможное перемещение Bsi, при котором 9з и 9g остаются постоянными, а q, увеличивается на bq,. Тогда возможная работа силы F будет с одной стороны равна Qi 61. С другой стороны, так как работы сил Fi и Fg будут на рассматриваемом перемещении равны нулю, то работа силы F будет равна

F,bSi=YMibq,.


Следовательно, имеем

и точно так же

Рис. 175.

FoV Mj 2

0з =

FsYMo

287. Эллиптические координаты в плоскости ху. Эти координаты можно вывести из предыдущих формул. Чтобы получить точку М на плоскости хОу, достаточно в этих формулах положить г = О, q = с. Тогда точка М будет определяться двумя эллиптическими координатами q, и q, которые являются корнями уравнения второй степени относительно К

представляющего софокусные конические сечения. Через каждую точку Л1 плоскости проходят два таких конических сечения: гипербола, соответствующая значению q, параметра X, и эллипс, соответствующий значению q. Тождество (2) в рассматриваемом случае принимает вид

il - q,)(l - qo)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039