Главная Промышленная автоматика.

и Т будет однородной функцией второй степени относительно q[, q, q. По теореме об однородных функциях имеем

После ЭТОГО возьмем уравнения Лагранжа, в которых Q„ Qj, Q3 ди dU ди

заменены через -, -, -, и, умножив их предварительно на oqi oqi oqg

я[ Яо яг сложим. Получим

1 dt

дя[)

d I дТ \,, d I дТ \

, дТ , дТ г дТ ди , , ди , , ди

Правая часть этого уравнения равна, очевидно.

dU dt

так как U

зависит от t только через q,, q, q- Что касается левой часги, то ее можно написать так:

d 1 , дТ

, дТ \

dq[ dq:, dq: j

{ „ дТ

„ дТ

„ дТ . , дТ . , дТ

дЧ-i

2 dq.

, дТ \

где q,,, 9g-вторые производные от q,, j- Яз по времени.

На основании уравнения (1), полученного из теоремы об однородных функциях, первая скобка равна 2Т. Что касается второй

скобки, то она является развернутым выражением производной так как Т зависит от t через параметры q,, q, 93, q, q.,, q, и уравнение (2) приводится к следующему виду:

d j dT

T. e.

dT=dU, T=U + h,

что и является интегралом кинетической энергии. В приложениях наиболее сложное из трех уравнений Лагранжа заменяют этим первым интегралом.

284. Приложение, Задача. Найти dвuжeнue материальной точки, которая притягивается или отталкивается неподвижной осью с силой, являющейся заданной функцией расстояния (рис. 172).

Мы уже видели (п. 84), что в это.м случае имеется силовая функция

Ф dr, которую мы обозначим через mf(r). 29*



Мы будем определять положение точки ее цилиндрическими координатами г, 6, Z. Тогда получим

= Т" = -2-Ы --2 .-/-О- +.•). Вследствие этого, уравнения Лагранжа после сокращения на т будут

гЧ=Г (г).

г = 0.

Интегрируя два последних уравнения, получим

rfi = С, г = а.

Заменим теперь первое уравнение Лагранжа интегралом кинетической энергии. Имеем


1 / л

-rW" +r2)=/(r)-f Л.

Если заменить здесь z и 6 их значениями из равенств (1) и (2), то получим

4(-" + + fl)=/{r)-f Л.

Это - уравнение вида

г2 = т(г),

из которого можно определить время простой Рис. 172. квадратурой.

Можно было сразу написать уравнения (1), (2) и (3), не пользуясь уравнениями Лагранжа. В самом деле, так как сила все время пересекает ось Ог, то к проекции движения на плоскость ху применим закон площадей, что приводит к уравнению (1). Так как составляющая силы по оси Ог

равна нулю, то = О, г = я и мы получаем уравнение (2). Наконец, уравнение (3) есть не что иное, как уравнение кинетической энергии.

Исключив из уравнений (1) и (2) время, мы получим дифференциальное уравнение

г2 dO = - dz, а

которому удовлетворяют траектории каков бы ни был закон сил. Если это уравнение написать в декартовых координатах, то получится

X dy - у dz = k dz.

Такое уравнение уже встречалось в упражнении 6 в конце главы I как дифференциальное уравнение кривых, касательные к которым являются прямыми нулевого момента.



285. Сферические координаты. Пусть р, 6. и - координаты точки М (рис. 173). Положим

тогда имеем

+ р2 sin2 всо2),

и, следовательно, уравнения Лагранжа будут

(шр) - тр (62 + о>2 sin2 6) = Qi, (mp36) -/пр2со2 sine cos В= Q,,

-(тр2 81пГ6со) = Оз.

Для вычисления Оз применим указанный ранее метод. Обозна-

чим через R, Q, Р составляющие силы F соответственно по радиусу-вектору г, по перпендикуляру к плоскости гОМ и по перпендикуляру к плоскости составляющих R, Q; величины Р, Q, R считаются положительными, когда они направлены в сторону возрастания соответствующих координат q, и> или 9. Для возможного перемещения вдоль радиуса-вектора (9з = const., 9з = const.) элементарная работа равна Rbr и, следовательно.

На перемещении р S6, для которого р ш остаются постоянными, элементарная работа равна Яр 86. Имеем поэтому

Q2 = /Пресли, наконец, оставлять неизменными р и в, то перемещение будет совершаться по окружности с центром в точке О и радиусом р sin в; элементарная работа будет, следовательно, равна Qo sin g 5m, и мы получим

Qj = Qp sm е.

Если сила F пересекает ось z, то Q будет равно щлю, и из третьего уравнения Лагранжа найдем

/ир2 sin2 в(о = const.

Это уравнение выражает, что проекция точки на плоскость ху движется по закону площадей.

286. Эллиптические координаты в пространстве. В эллиптической системе координат точка М в пространстве определяется параметрами трея пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусны:. заданной. Пусть

х2 , уЗ 3

Т=Л + 1, + -1=0 (1)

- уравнение поверхностей второго порядка, софокусных поверхности


Рис. 173.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037