Главная Промышленная автоматика.

Умножим, соответственно, эти уравнения на почленно сложим их. Получим

/ (fx дх , d"-y ду

"У df dq, ~ df dq.

dq,

df dq, ) ~~ "1

dq, dg.

где положено

dq,

Так как X, Y, Z являются заданными функциями координат х, у, г и их производных по t, то легко вычислить Q, в функции q,, q.. и их производных по t. Далее для вычисления левой части заметим, что предыдущее уравнение может быть написано в виде

d V I dx дх . dy ду . dz dz \ Wl"\dt dq~W~dq~dFdq). ~

dx d f dx \ , dy d I dy \ , dz d ( dz

m

dx d I dx\ dy d ( dy \ dz d ( dz \1 dt dt VaJ I dt dt \dq,j dt dt \dq,j\

dt dt \dq, 1 dt dt \dq,j dt dt Для упрощения записи Лагранж обозначает:

dx ,

dy dt

d, , dt 1

dq, dt

dqo. dt

=q,.

Тогда, взяв производные по t от обеих частей уравнения

xfiq,. 92. 3. 0.

получим

/ дх ,

dq, "1 аз-г ЧА dt

Отсюда, так же как и в п. 263, выводим формулы

дх дх d I дх\ дх

dq~dq[ dt \ dq, ) ~ dq,

Точно так же получаются тождества

ду dq.

dy dq.

d ( dy \ di \ dq, j

dy dq.

dz dq.

dt \ dq, j

dz dq.

Поэтому, уравнение (2) можно написать так

, дх

. dy : dz

"-W-



d dt

дТ \ дТ

Путем таких же вычислений получим: d 1дТ\ дТ

I дТ \

Выражение Т содержит д,, д, д и их первые производные; отсюда следует, что полученные нами уравнения Лагранжа будут второго порядка. Следовательно, их общие интегралы содержат шесть произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий.

Если известно выражение ds в системе координат д,, д, д, то

можно сразу найти Т, так как •

Вычисление правых частей. В равенствах, выражающих Q, Q3, можно заменить X, Y, Z их значениями, но часто можно вычисление упростить. Допустим сначала, что имеется силовая функция U. В этом случае

и поэтому

Х= У = - Z==- дх ду dz

дх dq, ду dq, дг Oq,

Если теперь предположить, что в выражении силовой функции U координаты X, у, z заменены их значениями в функции д,, д, д%. то предыдущее уравнение запишется следующим образом:

Точно так же будет

dq, •

2 dq2 дд;

Эти формулы пригодны и тогда, когда X, У, Z являются частными производными по X, у, г функции U (х, у, г, t), содержащей явно время, хотя в этом случае нельзя больше говорить, что сила имеет силовую функцию.

29 Зак. 851. п. Аппель. г. I

Положим теперь

Следовательно, Т обозначает кинетическую энергию точки. Если заменить х, у, г их значениями (3), то Т станет функцией переменных 9j, (/2, (?з, t, д, ду ду При таком обозначении непосредственно видно, что уравнение (2) можно переписать в виде



5дг =

.г° +

дх дд2

02 +

Ьу =

t .+

ду дЯ2

ду dqi

82 =

dqo.

92 +

•0(/з.

Элементарная работа силы на соответствующем возможном перемещении равна

ХЬх-\- Yoy + Zoz, или в силу предыдущих равенств

Qi + q + Qs Зз-

И если предположить, что возможное перемещение совершается по кривой 2 = const., = const., то элементарная работа будет равна Qi bq,, что и позволяет определить Точно так же получаются Q2 и Q3.

Мы видим, таким образом, что имеется полная аналогия с уравнениями, найденными для движения по кривой и по поверхности.

Единственное различие заключается в числе параметров q,, 2.....

которое для точки на кривой равно 1, для точки на поверхности равно 2 и для свободной точки равно 3.

283. Интеграл кинетической энергии. В случае, когда существует силовая функция U (х, у, г), по теореме кинетической энергии получим первый интеграл

T = U + h,

где Т обозначает кинетическую анергию. Этот интеграл, являясь следствием уравнений движения, является также следствием уравнений Лагранжа и может заменить одно из них.

Проверим непосредственно, что интеграл кинетической энергии действительно является следствием уравнений Лагранжа. Остановимся лишь на более простом случае, когда х, у, г, выраженные через q,, q2, q, не содержат явно /. В этом случае для х, у, г получатся выражения вида

, дх , , дх , , дх ,

в наиболее общем случае можно также упростить вычисление величин Qi, Q2, Q3. Дадим в уравнениях преобразования координат

x = f(gi,q2.q3.t). УНЯх Яг< qz<t), z = оу {д„ Язt)

времени t определенное значение и допустим, что q,, q, q получают произвольные возможные приращения Zq,, Ъд, Ьд. Тогда приращения координат X, у, г будут:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038