Главная Промышленная автоматика.

(П. Ceppe, Theorie geometrique et mecanique, etc., стр. 195.)

Пример. Если F имеет значение , то траектория будет сфери-

ческим коническим сечением с фокусом в полюсе (аналогия с движением планет).

15. Установить формулы такого же, как в примере 14, характера для движения точки на повер.хности вращения под действием силы, постоянно находящейся в плоскости меридиана движущейся точки.

16. Преобразование движений. В неподвижной плоскости дана материальная точка массы 1, находящаяся под действием силы F, проекции которой X п Y суть функции только координат х и у движущейся точки.

Уравнения движения будут

dx diy

-dfi- ж--

Заменив независимую переменную t переменной t,, связанной с t соотноше-ние.м

. dt

1 ~" {а"х + Ъ"у -f с")2 •

сделаем томографическое преобразование

ахАгЬу-\-с ах-f-Ьу-\-с

•1 - -f b"y + с" У а"х + Ь"у + с"

Доказать, что точка (х,,у,) двигается во времени ty, как точка массы 1, находящаяся под действие.м силы Fy, проекции которой Ху, Yy зависят только от ху и Уу. Траектория точки (ху, уу) является томографическим преобразованием траектории точки {х, у) и направление силы Fy есть томографическое преобразование направления силы F.

Если сила F-центральная, то сила Fy тоже центральная или параллельная постоянному направлению. (Аппель, Comptes rendus, т. CVIII, стр. 224.)

17. Доказать обратное: если надо найти наиболее общее преобразование

вида

ху = Cf (x, у), Уу=<\1 {х, у), dty=l {х, у) dt

такое, что новая сила Fy зависит только от координат ху и уу, и это имеет место, какова бы ни была сила F, зависящая от л: и у, то получается только вышеуказанное томографическое преобразование. (American Journal, т. ХП.)

18. Преобразование сферического движения в плоское. Даны сфера (S) радиуса 1 и касающаяся ее плоскость (Я); каждой точке My на сфере ставится в соответствие проекция М этой точки на плоскость (Я) при помощи радиуса, идущего от центра к My, это хорошо известная в теории географических карт такназываемая центральная проекция; она ставит в соответствие любой прямой плоскости (Я) большие круги на сфере (S) и наоборот. С точки зрения аналитической, если точку касания плоскости (Я) и сферы (S) принять за полюс полярных координат на плоскости и на сфере, то, обозначая

Доказать справедливость следующих формул, аналогичных соответствующим фор.мулам в теории центральных сил и, в частности, формуле Бине:



smtpcos,( ) =Ф, .(s«2,„)==0,

где Ф и 0 - функции от ср и 6. Доказать, что если над уравнениями плоского движения (Ь) сделать преобразование центральных проекций, определяемое формулами (а), и если между t и t, установить соотношение

dtl = cos3 ср dt, то уравнения (Ь) примут вид уравнений (с), где

Ф=-4-, в=

C0S2 ср C0S2 tp

Следовательно, любому движению на плоскости соответствует движение на сфере и обратно. Траекторией одной из точек будет преобразование при помощи центральных проекций траектории второй точки (Аппель, American Journal, т. XIII). Приложить это преобразование к примеру 14.

19. Доказать более общее предложение, что таким же путем можно преобразовать движение точки на поверхности постоянной кривизны в движение на плоскости. (Дотевилль, Annales de IEcole Normale superieure, 1890.)

20. Точка, на которую не действует никакая заданная сила, движется на плоскости, вращающейся с постоянной угловой скоростью m вокруг неподвижной оси, с которой она неизменно связана. Найти движение и вычислить реакцию (де Сен-Жермен).

21. Найти длину кривой, описываемую сферическим маятником в горизонтальной проекции и в стереографической проекции в случае Гринхилла (п. 280) (Гринхилл).

22. Установить уравнения движения точки на поверхности с трением. (Аппель, Comptes rendus, 15 фев., 1892; см. также Майе р, Sachsische Qesellschaft, 5 июня, 1893.)

23. Найти движение с трением тяжелой точки на круговом цилиндре с вертикальной осью. (Де Сен-Жермен, Bulletin des Sciences mathematlques, август, 1892.)

24. Доказать, что если точка, движущаяся по поверхности без трения, находится под действием силы постоянного направления, то проекция траектории на плоскость, перпендикулярную силе, имеет точку перегиба: 1) когда реакция обращается в нуль; 2) когда соприкасающаяся плоскость траектории нормальна к поверхности (де Спарр, т. CXIX). Это будут два случая, когда соприкасающаяся плоскость траектории вертикальна.

через р и ш полярные координаты точки М на плоскости, а через ср и 6 - полярные координаты точки на сфере (ср - дополнение широты и в - долгота), получим следующие формулы преобразования:

р = tg tp. О) = 8. (а)

Уравнения Лагранжа плоского движения будут

-Ж-Ы) dг(p-dг) = •

где и Q - функции от р и м. Точно так же, если рассматривается на сфере точка массы 1, перемещающаяся в течение времени t,, то уравнения дви;ке-ния будут



ГЛАВА XIV

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ

282. Уравнения Лагранжа. В предыдущих главах мы вывели для точки, движущейся по неподвижной или движущейся поверхности или по кривой, уравнения движения, указанные Лагранжем. Тот же метод позволяет написать уравнения движения свободной точки, причем в любой системе координат. Этот метод тем более важен, что он применим к движению произвольной голономной системы.

Допустим, что декартовы координаты х, у, г движущейся точки относительно трех прямоугольных осей координат выражены через новые координаты j, q,, формулами

Требуется написать уравнения движения в новой системе координат, т. е. написать дифференциальные уравнения, определяющие q,, q, q в функции времени. Для этого можно было бы взять те же уравнения движения, которые определяют х, у, г в функции t и преобразовать их к новым переменным, определяемым выщенаписанными формулами. Но такое вычисление было бы слишком длинным, а метод Лагранжа имеет целью именно избежать длинные вычисления. Этот метод применим также и в том случае, когда декартовы координаты являются заданными функциями не только трех новых координат q,, 92, 9з. но и времени. С точки зрения геометрической это означает, что указанный метод применим также и в случае, когда новая система координат подвижна, причем движение ее известно.

Поэтому, чтобы исследовать наибохее общий случай, мы предположим, что X, у, Z являются заданными функциями параметров q,, 3 и времени t:

X =(gi, q-i, qs, t), y = \>{q,, Qi, qs, t). Z = ш (q,, q,. q, i).

Чтобы найти уравнения движения в новой системе координат, т. е. дифференциальные уравнения, определяющие д, q% в функции времени, напишем уравнения движения в декартовых координатах

dix „ dy dz





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0059