Главная Промышленная автоматика.

1) О степени точности этого результата см. Крылов А. Н., ЖРФХО, т. 609, 128 и Лекции о приближенных вычислениях, изд. 5, Москва 1950, § 82 (Прим. перев.).

и будем пренебрегать членами второго порядка. Ограничиваясь такой степенью приближения, получим г - I, так как по формуле Тэйлора имеем

и второй член разложения есть член второго порядка. Таким образом, приближение, о котором мы говорим, сводится к допущению, что движущаяся точка не покидает касательной плоскости. Последнее из уравнений (1) упрощается:

N = mg.

Подставляя это значение в два первых, получим уравнения

Л„

df ~ I df~ I У

совпадающие с уравнениями движения точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию. Траектория будет эллипсо.м с центром на оси Z. Это видно из того, что полученные линейные уравнения имеют общие интегралы

xAcostY-l-Bsin]/"y = AcostY-f + sin/ j/"--. Допустим, что при = о

dx dy x = Xq, y = yo. -=0, -=v„

что равносильно проведению плоскости zOx через одну из вершин малого эллипса. Тогда получатся следующие значения постоянных:

A=-Xq, А=0, В=0, B=Voj/~ -,

откуда

x = xoCoaty-, у = ]/" J-sin < .

Исключая t, получим непосредственно уравнение эллипса i). Период обращения равен 2п~.

Можно улучшить приближение, сохранив члены второго порядка. Для этого достаточно во вторых частях уравнений (1) заменить Л его значением, полученным из первого приближения. Это вычисление выполнено Тиссераном (Bulletin des sciences mathematlques, 1881).

Другие методы приближения даны Резалем (Mecanique generale, т. 1, стр. 180) и де-Спарром (Annales de la Societe scientifique de Bruxetles, 1892).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Точка М с массой, равной 1, двигается по поверхности, заданной в прямоугольных координатах уравнением

x"- + y"- = j(e + e-f.



Она притягивается каждым элементом оси z с силой, равной отношению длины элемента к четвертой степени расстояния до точки Ж. Исследовать движение, которое может получить точка, и найти проекцию траектории на плоскость ху. Исследовать случай, когда в начальный момент точка находится на оси X и имеет скорость, равную j/"- и образующую с плоскостью ху угол, равный 45° (лиценциатская, Кан). i. 2. Невесомая точка движется по сфере хз -- у2 -f - /?з = о под дей-

„ mki

ствием силы, направленной нормально к плоскости ху и равной ,

где к"- - постоянная. Найти движение и нормальную реакцию. (Траектория - сферическое коническое сечение.)

3. Рассмотрим материальную точку ЬА с массой, равной 1, находящуюся под действием силы F, проекции которой на три прямоугольные оси координат равны частным производным силовой функции U (х, у, z). Уравнение и = const представляет поверхность уровня, пересечение которой с произвольной поверхностью S можно назвать линией уровня на поверхности S. Определить эту последнюю поверхность таким образом, чтобы точка М, вынужденная на ней оставаться и предоставленная без начальной скорости действию силы F, описывала траекторию С, ортогональную всем линиям уровня. Если, например, на точку М действует только вес, то она должна падать на искомой поверхности вдоль линии наибольшего ската.

Доказать, что синус угла, под которым поверхность уровня пересекает поверхность S, изменяется в различных точках линии пересечения в отношении, обратном силе F. (А. де Сен-Жермен, Journal de Math., октябрь, 1876.)

4. Свободная точка, находящаяся под действием только сопротивления среды, описывает прямую. Доказать, что точка, движущаяся по поверхности и находящаяся под действие.м только сопротивления среды и трения, описывает геодезическую линию.

5. Тяжелая материальная точка, оставаясь на поверхности сферы радиуса а, притягивается пропорционально расстоянию неподвижной точкой В, находящейся на вертикали Ог и проходящей через центр О сферы; расстояние ОВ = Ь. Даны значение (л. притяжения на единицу расстояния, ускорение g силы тяжести, начальная скорость k движущейся точки, предполагаемая горизонтальной, и, наконец, начальное расстояние h от точки до горизонтальной плоскости Оху, проходящей через центр сферы. Требуется: 1) найти границы, между которыми изменяется во время движения координата z точки; 2) определить движение в частном случае, когда притяжение неподвижной точки В в центре сферы равно и противоположно весу.

6. Найти движение точки, движущейся на сфере и притягивающейся диаметральной плоскостью пропорционально расстоянию. Задача сводится к интегрированию уравнения Ляме. [К о б б, Comptes rendus, т. CVIII.]

7. Геодезические линии эллипсоида. Как следствие доказанного в тексте (п. 279) соотношения pD = const., доказать следующие предложения.

Если О и О - две шаровые точки эллипсоида, не лежащие на одном диаметре, то МО и yVlO- геодезические линии, соединяющие точку М с этими точками, а эти две линии одинаково наклонены к каждой из линий кривизны, проходящей через точку М.

Если точка М описывает линию кривизны, то сумма или разность дуг геодезических линий МО + МО - постоянна. (См. Journal de Liouville, 1846.)

8. Найти геодезические линии тора. (Ре за ль, Comptes rendus, т. ,ХС, стр. 937.)

9. Найти геодезические линии поверхности, образованной вращением цепной линии вокруг основания (6 определяется через г эллиптическим интегралом первого рода, который сразу приводится к нормальной форме).



kdr Г еУ2 - д2

г V (г2--а2)(г2 й2)-

Следовательно, 6 выражается интегралом, который приводится к эллиптическим. Кривая имеет форму, аналогичную указанной в п. 275. При k = а

она асимптотически приближается к горловому кругу г = а; при k = - кривая обращается в образующую.

10. Кривизна геодезических линий поверхностей вращения. Пусть R и R - главные радиусы кривизны в точке поверхности вращения, г-радиус соответствующей параллели, I - наклон рассматриваемой геодезической линии к меридиану, р - ее радиус кривизны. Вывести формулу

5 + (7-i)- = f.

где k, как и в тексте, представляет собою постоянное значение произведения г sin / вдоль рассматриваемой геодезической линии. (Резаль, Nouvel-les Annales, фев., 1887.)

И. По поверхности двигается тяжелая точка. Доказать, что можно взять начальную скорость настолько большой, что траектория на некотором расстоянии от начального положения точки будет сколь угодно мало отличаться от геодезической линии.

12. Найти геодезические линии поверхности вращения

16а2 {хг 4- у2) = г.2 {2d - z").

Можно положить

а 1 , и и\

r = -cosu, = alsin-2- -cosyl.

Эти геодезические линии имеют вид пространственной восьмерки; все они замкнуты и имеют одинаковую длину. (Т а н н е р и. Bulletin des Sciences matiiematiques, 1892, стр. 190.)

13. Даны две тяжелые точки, притягивающиеся друг к другу пропорционально расстоянию. Первая из них двигается по вертикали, а другая на плоскости, образующей с горизонтом угол а. Найти движение этой системы двух точек.

Рассмотреть частный случай, когда: а) т = т; б) начальное положение совпадает с положением равновесия; в) проекции начальной скорости второй точки на горизонталь и на линию наибольшего наклона плоскости равны,

каждая, начальной скорости первой точки; г) sin а = - .

Рассмотреть также случай, когда плоскость горизонтальна, т. е. а = 0.

14. Движение точки на сфере под действием силы, постоянно лежащей в плоскости меридиана, проходящего через движущуюся точку. Предполагается, что радиус сферы равен единице и что положение точки определяется долготой 8 и углом f, дополнительным к широте; на точку действует сила, постоянно находящаяся в плоскости меридиана; обозначим через F проекцию силы на касательную плоскость к сфере, причем F считается положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли эта составляющая направлена в сторону возраста;ощих или убывающих значений .

9 bis. Найти геодезические линии однополостного гиперболоида, образованного вращением гиперболы --£=i Обозначая через е эксцентриситет гиперболы, получим для проекций геодезических линий такое уравнение:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [143] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039