Главная Промышленная автоматика.

I J гГ(а - 1)(1 - и

„ •У(«--Г)(1-И2)(1 -Й2«2)

где положено

а - 1

Величина существенно положительна и меньше 1, так как а - наибольший из трех корней: а > р > 7. Полагая, наконец,

, y2g(a-v) =-21-•

имеем

J V (1 - И2)(1 -ft2«2)

У (1-и2)(1 Т. е.

и = sn \t,

откуда

г = а - (а - р) sn2 и.

может иметь места, когда аир оба положительны, так как тогда г будет оставаться положительным и реакция -j- будет существенно положительной (см. упражнение 24).

279. Интегрирование в эллиптических функциях. Полученные нами формулы могут быть преобразованы таким образом, чтобы переменные выражались однозначными функциями t. Этим мы сейчас и займемся. Мы нашли

dt=.

Будем отсчитывать время от того момента, когда точка проходит через самое низкое положение Ау. Мы должны будем взять перед радикалом знак минус, вследствие чего получим:

J /2(а г)(г-р)(г-т)

& = - / I J У(а г)(г-Р)(г--г)

Для приведения этого интеграла к канонической форме, положим

а г = (а-р) иК

Так как z изменяется между предельными значениями а и р, то н колеблется между О и 1. Из последнего равенства выводим

г = а - (а - р) u2, dz= - 2(a~)udu и, подставляя в значение для t, получим



V (1 -И2)(1 - /fe2„2)

Заметим, что Va - z, Yz - р, Yz-7 являются однозначными функциями времени. В самом деле,

Y = У"а - fi sn It.

Yz - = УГ = cn It,

Уг -7 = Уа --f У1 - Й2н2 = Y dn Xt Чтобы выразить хну как функции времени, вспомним, что мы получили

rf9 =

/2 - г2

Если теперь заменить здесь г полученным для него ранее значением, то

- станет рациональной функцией от sn Xt; разложив ее на простые дроби

по методу Эрмита, можно будет выполнить интегрирование так, как это указывается в теории эллиптических функций. Получающаяся таким путем функция 6 не будет однозначной, но можно показать, что х я у получатся однозначными функциями времени t. Действительно, имеем

x + iy = rei = У /2 г2 е

. С Cdt J iF=d>

Можно доказать, что показательная функция не имеет критических точек, кроме как при значениях t, соответствующих значениям z = ± I, и что произведение

Y14 -z-e

не имеет этих критических точек и будет однозначной функцией от t. Отсюда получится, что и вещественная часть х и мнимая часть у будут обе однозначными функциями от /. Этот метод принадлежит Тиссо (Journal de Liouville, 1852).

Эрмит дал прямое доказательство этого же самого свойства (Crelle, m. 85).

Непосредственное отыскание функций jc и у сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка, являющегося частным случаем уравнения Ляме, исследованного Эрмитом (Sur quelques applications des fonctions elliptiques). Действительно, мы установили ранее, что если N обозначает реакцию, то

rf2jc Nx m ,„ , ,,

"rf=~~r N =-j-{?gz + h),

и поэтому

rf2 igZ+h

dt"- •

Заменив в этой формуле z найденным выше значением, мы получим rf2£ 3g [а -(g -P)sn21.f Д

Л2 ~ /2

Таким образом, z является двоякопериодической функцией переменного t. Один из периодов вещественный и равен



P-Vg dz

{P~z"-)Vz[2g{l-z)-vlz\ Idz

i Yz[2g{e~z)-vlz\ Из этих уравнений, как легко проверить, имеем

8-i:°arcsin , "« .

или, обозначая через tp угол маятника с вертикалью, т. е. вводя г = / cos tp, получим

sin <р sin (b-t\ = -Y4-V 21 ) Y2gl

Это соотношение совместно с тем, которое определяет z или / cos tp через эллиптические функции от., позволяет выразить х, у, z как однозначные функции от t.

281. Бесконечно малые колебания. Вводя нормальную реакцию Л, имеем следующие уравнения движения маятника:

d?-x Nx d2y Ny (Pz Nz ...

Если колебания достаточно малы, то х и у будут оставаться очень малыми. Мы будем рассматривать их как бесконечно малые первого порядка

Это - линейное уравнение, частные интегралы которого определяют не только x(t), но и у(), так как уравнение для у

d2y Ny

будет таким же, как и уравнение для х. Если теперь положить Xt = t, то предыдущее уравнение примет вид

=х{Ш sns t + h), dt

где h обозначает постоянную. Это - уравнение Ляме dx

- = x[n(n+\)k"- sns t + Л],

в котором п - 2.

280. Теорема Гринхилла. Мы обязаны Гринхиллю следующим интересным замечанием. Если сферическому маятнику сообщить на уровне центра горизонтальное движение, то существует линейная комбинация интегралов, определяющих 8 и , являющаяся псевдоэллиптическим интегралом, т. е. таким, который может быть выражен в элементарных функциях. В самом деле, так как начальные значения г и у в момент =0 приняты равными нулю, то, обозначая через Vg начальную скорость, которая предполагается горизонтальной, имеем





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [142] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038