Главная Промышленная автоматика.

Следовательно, ср (гр) должно быть отрицательным. Если это условие выполнено, то вершина конуса нормалей находится над параллелью. Если точке, находящейся на параллели, сообщить скорость

го = У - g-/-o?(-o).

то она будет двигаться по этой параллели.

Этот результат легко проверяется геометрически. Для этого достаточно выразить, что равнодействующая веса и нормальной

реакции направлена к центру параллели и равна -.

277, Сферический маятник. Сферический маятник состоит из тяжелой точки, движущейся без трения по неподвижной сфере. Примем за начало координат центр сферы и направим ось г вертикально вверх. В цилиндрических координатах уравнение сферы будет

г2 -f гз = /3,

где / - длина маятника.

Течка находится под действием двух сил: силы тяжести и нормальной реакции сферы; следовательно, по теореме кинетической энергии имеем

vi2gz + h,

так как работа реакции равна нулю. Более того, так как обе силы лежат в одной плоскости с осью Ог, то можно применить закон площадей к проекции движения на плоскость хОу:

rdb = Cdt.

Эти три уравнения определяют г, г и в в функции t. Найдем сначала г. Для этого нужно исключить г и 9. Уравнение кинетической энергии можно переписать так:

(S)+-(S+(S)-+-

28 Зак. 851. П. Аппель, т. I

Обращаясь к общим уравнениям движения на поверхности, имеем;

Для того чтобы траектория была параллелью z = Zq, необходимо, чтобы эти уравнения удовлетворялись при условии 2 -2о, x = /-qCos6,

у = rgSin 6. с другой стороны, по теореме площадей - = С = rv,

где начальная скорость Vq обязательно касается параллели; отсюда

6 = . Поэтому обязательно должно быть

Vr. X Щ У

\ = - mg.-- X = g-- ср (го),-- v = g- ср(/-о).

о о о о

Эти два последних уравнения приводятся к следующему:

0 „ f Со)



dr==

С другой стороны, из уравнения площадей имеем

.„ Cdt С dt

Подставляя в уравнение кинетической энергии, получим (4f) 2 + - -

Полагая

ср(г) = (2г + Л)(/г-22)-С2,

найдем окончательно:

= -/-

Таким образом, время выражается через z эллиптическим интегралом. Знак перед радикалом определяется начальными условиями. Сомнение может воз-

= 0; тогда нужно будет выяснить.

никнуть лишь в том случае, когда

должно ли Z увеличиваться или, наоборот, уменьшаться для того, чтобы cf {z) оставалось положительным.

Формула rfS = - показывает, что проекция движущейся точки на

плоскость хОу все время поворачивается в одну и ту же сторону вокруг оси г, если только С не равно нулю; в последнем случае 6 будет оставаться постоянным, и мы получим математический маятник. Если в этой формуле заменить г- и dt их выражениями через г, то получим

.„ + Cldz

{P-z-)Y(z)

Таким образом, и 0 определены в функции г; после этого г найдется из уравнения сферы. Чтобы уравнения были вещественными, необходимо, чтобы многочлен tf (г) был положителен. Этот многочлен имеет три вещественных корня. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить вместо г последовательно значения -со, - I, г, + /, для которых tf>(г) примет соответственно значения -)-со, -С2, tf (го), -С, к заметить, что так как является начальным

, . dz

значением г, то <р (о) будет положительным, так как начальное значение -

вещественно. Следовательно, имеются два вещественных корня а и в промежутках Zq) и (q, •-О и один корень i в промежутке ( - /, -со). Сумма попарных произведений этих корней равна -f; следовательно,

т(« + Р) = -( + «Р).

Так как а и р заключены между - / и -- /, то /2 j положительно, но y отрицательно и поэтому а-j-р положительно; следовательно, параллель, равноотстоящая от параллелей z = а и г = р, лежат всегда ниже центра, и корень « всегда положителен. Переменная z, начальное значение которой лежит между аир, остается, всегда заключенной в этом промежутке, так как, если бы она из него вышла, то tp (z) стало бы отрицательным.

Из уравнения сферы г = V" - получим

zdz



Допустим для определенности, что z, начиная с г = г, сначала убывает. Тогда перед радикалом нужно будет взять знак минус и z будет уменьшаться до значения р, так что когда точка достигнет параллели ВВ {г = Р) в By, ее траектория будет иметь горизонтальную касательную, так как в этом

dz db

положении обращается в нуль, а производная ~ отлична от нуля.

Начиная с этого момента, движущаяся точка будет продолжать поворачиваться вокруг оси Z в том же направлении, но она будет при этом опускаться до параллели г==с, описывая дугу, касающуюся в Ау этой параллели (рис. 169). После этого она будет подниматься до параллели г = р и т. д. Время, затрачиваемое точкой для перехода из Ау в Вч будет


и оно будет таким же, как и время, необходимое для описания дуг ВАу, ВчА, и т. д.

Если начальная скорость точки направлена вдоль одной из крайних параллелей,

dz

*го в начале движения будет = 0.

Это - сомнительный случай, о котором мы говорили выше. Если точка начинает движение по параллели 2 = р, то z должно возрастать и перед радикалом нужно взять знак плюс; во втором случае, когда движение начинается вдоль параллели г = а, нужно взять знак минус.

хМеридианные сечения, проходящие через точки касания траектории с крайни-ми параллелями являются для траектории плоскостями симметрии. В самом деле, рассмотрим две точки М я М ветвей Афу и А2В2, лежащие на одной параллели. Если 8, 6, 6j - значения 9, соответствующие точкам М, М и Ау, то имеем

Cldz

a dz

= "1-

Следовательно, обе точки М и М действительно симметричны относительно меридиана точки Ау. Кроме того, промежутки времени, затрачиваемые движущейся точкой для пробега дуг MAi и АуМ, одинаковы, так как они оба имеют одно и то же значение

Построим теперь проекцию траектории на. плоскость ху. Мы будем различать два случая в зависимости от .того,, лежат ли крайние параллели на одной полусфере, или нет.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [140] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039