Г2-Й2

Для того чтобы 6 было вещественным, необходимо, чтобы г было больше kx следовательно, .асривая;-! находахсй ;вне! круга-радиуса Можно,

274. Формула Клеро. Если обозначить через i угол, под которым геодезическая линия поверхности вращения пересекает меридиан, проходящий через точку М этой линии, а через г - расстояние от точки М до оси, то для всех точек линии выполняется соотнощение

r%{ni = k. (1)

В самом деле, если рассматривать точку, описывающую геодезическую линию при предыдущих условиях, то момент количества движения, или, что приводится к тому же, момент скорости точки относительно оси будет постоянным. Постоянное значение этого момента как раз равно постоянной С площадей на плоскости, пер пендикулярной оси, так как момент скорости относительно оси Oz

равен f"-- Разложим скорость v движущейся точки М на две

составляющие, из которых одна vsini касается параллели, проходящей через точку М, а другая г» cos г касается меридиана. Момент скорости относительно оси вращения равен сумме моментов этих двух составляющих, но так как момент второй равен нулю, то, следовательно, момент скорости равен моменту rvsini только первой составляющей. Следовательно,

rv sin i = C.

Но так как v - Vq, то отсюда получается уравнение (1), причем

постоянная k имеет значение - и поэтому совпадает с той, которая

входит в уравнение геодезической линии (п. 273).

Примечание. Соотношение (1) не характеризует геодезических линий. Если линия удовлетворяет этому уравнению, то она является либо геодезической линией, либо параллелью. Действительно, уравнение (I), очевидно, удовлетворяется для параллели, так

как для нее г = к, i = . Это решение является особым интегралом г~ к, dr - 0 уравнения (G).

275. Упражнение. Геодезические линии поверхности, образованной вращением равносторонней гиперболы вокруг своей асимптоты. Уравнение поверхности будет

Поэтому в приведённых выше формулах нужно заменить у (г) через - и для проекций геодезических- линий тголучится уравнение

однако, полагать г = k, так как при этом значении подынтегральное выражение обращается в бесконечность вместе с и интеграл остается

У г- ft

конечным. Повернув оси на подходящий угол вокруг оси Ог (рис. 168), можно добиться того, чтобы 6 равнялось нулю при г = к, и .мы получи.м

г* kdr

Начиная от значения k, г может неограниченно возрастать без нарушения вещественности 6; при этом 6, возрастая вместе с г, будет иметь некоторый предел, так как при неограниченном возрастании г подынтегральное выражение стремится к нулю, как и ~. Этот предел Ф будет

г* kdr

Чтобы узнать, существует ли асимптота, параллельная этому направлению ip. достаточно, как известно, выяснить, будет ли

полярная подкасательная г- иметь предел

Рис. 168.

при бесконечном г. Этот предел, если он

существует, равен расстоянию от полюса до асимптоты. В данном слзчае выражение

de dt

имеет предел k. Следовательно, кривая имеет асимптоту £), касающуюся окружности радиуса k. Можно доказать, что угол ф больше, чем . По-

лагая для этого ~ = а, имеем

Г 1 - цз

Если = оо, то ф = --; когда k уменьшается, этот угол увеличивается,

и если предположить, что k становится очень малым, то подынтегральное выражение будет становиться все большим и большим и ф будет неограниченно возрастать. Следовательно, имеет какое-то значение, заключенное

между и оо. Взяв перед интегралом знак -, мы получим вторую ветвь

кривой, симметричную первой относительно оси х.

Таким же путем можно исследовать геодезические линии поверхностей вращения второго порядка, детальный анализ которых можно найти в Traite des fonctions elliptiques, т. II, глава VI, Альфена. Для произвольных поверхностей вращения получается, что если меридиан имеет бесконечные ветви, то и геодезические линии имеют бесконечные элементы. Если на поверхности имеется самая короткая параллель, то эта параллель будет геодезической линией, и в общем случае будут существовать геодезические линии, асимптотически к ней приближающиеся. Для подробного изучения этих кривых отсылаем к Lemons sur la theorie des surfaces Дарбу (часть 3).

276. Движение тяжелой точки на поверхности врадцения, ось которой Oz вертикальна. Интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам. Прежде всего по теореме кинетической энергии имеем

где v = 2gz+- h, причем ось г направлена вниз. Теорема площадей справедлива, и мы имеем

rdbC dt. Если уравнение поверхности есть z=o(r), то

»=(1)*с+т")+КЭ-

Исключая из этих трех уравнений время и скорость, получим dr2 (1 + ср) + dQ = [2 ср (г) + h] .

Переменные сразу разделяются и 6 выражается через г при помощи квадратуры:

е- /i/IIIl+ZZZ

Точно так же интегрирование приводится к квадратурам всякий раз, когда движущаяся точка находится под действием силы, имею-ш.гх\ силовую функцию, зависящую только от г.

Для алгебраической поверхности Кобб указал случаи, при которых задача приводится к эллиптическим функциям (Acta mathematica, т. X).

Интересное аналитическое исследование движения тяжелой точки на поверхности вращения можно найти в статье Отто Штауде (Acta mathematica, т. XI).

Примечание. Тяжелая точка, движущаяся по поверхности вращения, может описывать параллель поверхности лищь в том случае, когда вершина конуса нормалей вдоль этой параллели находится над ней.

В самом деле, уравнение поверхности имеет вид г = ср(г). или г -ср(/л;2-4- у2)=:0.