Главная Промышленная автоматика.


нибудь момент обращается в нуль и меняет знак, то точка покидает поверхность и задача сводится к случаю свободной точки.

269. Естественные уравнения и нормальная реакция. Отметим на траектории, лежащей на поверхности, начало дуг А (рис. 166). Пусть М - произвольное положение движущейся точки. Проведем через эту точку касательную МТ в направлении возрастающих дуг, и пусть С - центр кривизны нормального сечения поверхности, касающегося МТ, R = MC-его радиус кривизны. За положительное направление нормали к поверхности мы примем направление МС. Пусть также МС-главная нормаль траектории и р = МС - ее радиус кривизны. Обозначим через 6 угол между соприкасающейся плоскостью ТМС траектории и нормалью к поверхности. На основании теоремы Менье имеем p = /?cose.

Проектируя направление МС на касательную плоскость, мы получим полупрямую MP, на которой мы будем рассматривать направление проекции отрезка МС как положительное. Пусть теперь Ff, Р„, F -проекции силы F на прямые МТ, МС, MP, а N - алгебраическое значение нормальной реакции. Мы знаем, что равнодействующая сил F н N разлагается на две силы, из которых одна

dv ,,™ «2

равна т -j и направлена по MJ, а другая равна от - и направлена по МС; эта система двух сил эквивалентна системе, образованной силами F и N. Приравнивая суммы проекций сил каждой из этих систем на оси МТ, MP, МС, имеем:

dv „ mv . л „ туЗ л о i \7 т- = Р, -smdFp, -cose = F„ + 7V.

Этим уравнениям можно придать более простую форму. Обозначим через рд радиус геодезической кривизны и воспользуемся най-

денным выше соотношением - =R. Тогда предыдущие уравнения примут вид

dv „ mv „ mv"- „ , »r

Если имеется силовая функция, то -j=U-\-h, и последняя из

предыдущих формул позволит вычислить нормальную реакцию без предварительного определения движения при условии, что известен радиус кривизны R.

Из этих уравнений можно вывести интересное следствие. Подвергнем поверхность такой деформации, чтобы длины начерченных



на ней линий не изменились. При таком преобразовании радиусы геодезической кривизны не изменяются. Если, следовательно, изменить силу F таким образом, чтобы не изменилась ее проекция на касательную плоскость, то первые два из написанных выше уравнений, определяющие движение, не изменятся и движение будет таким же, как и в первом случае. Изменится только нормальная реакция. Мы видим, таким образом, что траектория тяжелой точки, двигающейся на вертикальном цилиндре, получится навертыванием на этот цилиндр параболы с вертикальной осью. Точно так же траектория тяжелой точки на круговом конусе с вертикальной осью получится навертыванием на этот конус плоской траектории точки, движущейся под действием постоянной центральной силы.

270. Геодезические линии. Наиболее простым будет тот случай, когда на точку, положенную на неподвижную поверхность, не действуют никакие силы. Тогда уравнение кинетической энергии

будет а1-1 = 0; оно показывает, что скорость остается постоянной. Траектория точки будет геодезической линией поверхности, так как ее соприкасающаяся плоскость должна содержать единственную действующую на точку силу - нормальную реакцию. Это следует также и из второго естественного уравнения, которое обра-

тиз 1

щается в -- О, откуда вытекает - = 0, так как v постоянно,

а условие - = 0 характеризует геодезические линии. Последнее естественное уравнение позволяет вычислить нормальную реакцию N = . Можно заметить, что в рассматриваемом случае 6 = 0,

вследствие чего /? = р и нормальная реакция имеет значение -

Она изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны траектории.

Общие уравнения движения приводятся теперь к виду

d?X df d2y df d"-Z df

"f--dj "f--di "ч-и-

При помощи уравнения й8 = щМ здесь можно исключить время, для

чего достаточно в предыдущих формулах заменить df через (-~)-

Примечание. Если поверхность имеет прямолинейные образующие, то они будут одними из возможных траекторий, так как если точку пустить по какой-нибудь образующей, то она будет продолжать двигаться по ней в силу закона инерции, а реакция поверхности будет равна нулю.



Пример. Геодезические линии эллипсоида. Приложим предыдущие результаты к эллипсоиду

Мы пишем здесь в знаменателях а, Ь, с, чтобы те же вычисления в зависимости от знаков а, Ь, с давали геодезические линии эллипсоида или гиперболоида.

Уравнения движения могут быть написаны так:

. = ,х .

Как всегда, имеем первый интеграл v = Vg. Для нахождения второго используем метод Дарбу. Продифференцировав два раза подряд уравнение (1), получим

а dfi b dfi с dfi а \ dt) b\dt) c\dt ) ~ или в силу уравнений (2)

62 -Г д2

)=-[1($М(1)-+И-

1 лх

Умножим теперь уравнения (2) соответственно на----

а dt

и сложим. Получим

d£ \2

dt) \ 1 dy

b dt

\ dz с dt

dx y

62 dt

<;2 dt }

1 dx d"-x

J dy d2y 1

* dt dfi- с dt dfi

a dt dfi-

Если мы разделим почленно уравнение (4) на уравнение (3), то получим

1 dx dx . 1 dy day 1 dz dz

X dx y i Л

" 1 «,5 t" /.3

a2 dt 62 dt

c2 dt

a dt dfi

b dt dfi

с dt dfi

да "T 62 "T c2

.a\dt

dt) b\dt

dr;j

Каждый из числителей с точностью до постоянного множителя равен производной от знаменателя; следовательно, найденное уравнение можно проинтегрировать и получить

V а2 62 ci)Ya\dt ) b\dt ) с \ dt )

= const.

Исключая время при помощи уравнения кинетической энергии = Vq, получим

fx"-, у2 , г2 \ г 1 / dx \2 , 1 / dy \2 , I / dr \21 ,

Таково дифференциальное уравнение геодезических линий эллипсоида. Простая геометрическая интерпретация этого уравнения приведет к теореме, установленной Иоахимсталем: если р - расстояние от центра эллипсоида до касательной плоскости в точке М геодезической линии, D - длина





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037