Главная Промышленная автоматика.

Сила, действующая на точку, равна F=m\ir и направлена по CD. Известно, что в этом случае имеется силовая функция

mil--.

Определяя точку поверхности параметрами Г и в, которые заменяют

и имеем

= --[г" + ( + *=)9"1-

Уравнения движения Лагранжа будут поэтому следующие:


Второе из этих уравнений показывает, что

Рис. 165. (/2-1-й2)в = С.

Вместо первого уравнения воспользуемся интегралом кинетической энергии

Г2 4- (/-2 + Щ 6 - (Л/-3 = h.

Исключив в из двух последних уравнений, получим уравнение движения по радиусу-вектору:

Таким образом, t выражается через г при помощи квадратуры. Точно так же найдем, что 9 выражается через г при помощи второй квадратуры. Для этого достаточно в последнем уравнении заменить dt его значением

{r-ki)d.

При исследовании формы кривой необходимо различать два случая в зависимости от того, положительно или отрицательно х (отталкивание или притяжение). Если (х положительно, то кривая может иметь бесконечные ветви, что видно из того, что при неограниченном возрастании г величина (-j не перестает бцть положительной. Наоборот, если fx отрицательно, ТО г может возрастать только в некоторых пределах. В частном случае, когда ц = 0, точка перемещается по поверхности без непосредственно приложенной силы (по инерции). Тогда t выразится через г эллиптическим интегралом. В этом частном случае точка, как мы увидим дальше (п. 270), будет описывать геодезическую линию геликоида:

266. Вывод уравнения кинетической энергии из уравнений Лагранжа. Если поверхность неподвижна, то выражения х, у, z в функции q, и- 2 могут быть выбраны таким образом, чтобы они не содержали t явно. Тогда Гбудет однородной квадратичной функцией



1 дТ \

( \

и сложим их, умножив предварительно первое на q, а второе

на q. Мы получим одно уравнение, которое может быть написано

следующим образом: d 1, dT , , dT\

dT ddx дТ dq dT , dT \ dq dt dq dt dq dq J

Первая скобка равна 27, a вторая равна так как Т зависит

от t через q, q, q- Следовательно, предыдущее уравнение

можно написать в виде

d{2T) dT , ,

dt dt - ан-У22

dt dt или, умножая его на dt, получим

dTQydqy--qdq,

что и является уравнением кинетической энергии, так как Qydqy-\~ -Qdq есть элементарная работа силы {X, Y, Z). Если Qdq---\-Q2dq2 является полным дифференциалом функции U (q, q, то интеграл кинетической энергии будет

T = U-{-h.

Он заменит одно из уравнений Лагранжа.

267. Устойчивость равновесия в случае существования силовой функции и. Как мы видели в статике, для нахождения значений q и q, соответствующих положению равновесия точки, необходимо составить два уравнения: Qj = 0, QQ. В частном случае, когда Qdq--Qdq является дифференциалом функции и (qi, 2). уравнения равновесия совпадают с уравнениями, которые нужно написать при нахождении максимума или минимума функции и (qi, q).

величин q и q и на основании теоремы об однородных функциях получим тождество

, дТ , г дТ

dqy dq.,

Установив это, возьмем оба уравнения Лагранжа



Шы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какой-нибудь системы значений д - а,, q - a функция U имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Доказательство совпадает с данным ранее (п. 208) для свободной точки. Укажем его в немногих словах. Можно всегда предполагать, что максимум имеет место при q, = 0, - 0> то приведет к выбору новых параметров q, - а, и q - «2- и что этот максимум t/(О, 0) равен нулю, так как это равносильно вычитанию из U(q,, q) некоторой постоянной, что допустимо, поскольку эта функция определяется с точностью до постоянной. Согласно определению максимума, функция и будет тогда отрицательной и отличной от нуля вблизи рассматриваемого положения равновесия Р. Проведем на поверхности малую замкнутую кривую С, окружающую Р. На этой кривой функция и отрицательна и не равна нулю. Следовательно, существует такое малое положительное число р, что функция U ~{-р будет на кривой С тоже отрицательна. Сместим теперь точку из положения равновесия Р в близкое положение М, лежащее внутри С, где и принимает значение U, и сообщим ей скорость v. Получим

----t/o.

Выберем начальное положение и начальную скорость так, чтобы выполнялись условия

что вследствие непрерывности потребует, чтобы и расстояние РМ были меньще некоторых пределов. При этих условиях точка не выйдет за кривую С и даже ее не достигнет, так как из уравнения кинетической энергии получаем неравенство

mv . ,, .

Z и-\-р делается отрицательным на граничной кривой С.

268. Нормальная реакция. После того как движение станет известным, для нахождения реакции достаточно будет найти X из какого-нибудь одного уравнения движения (2) (п. 262). Допустим, что точка свободно положена на поверхность, т. е. что она может сойти с нее в какую-нибудь сторону. Для того чтобы точка оставалась на поверхности, необходимо, чтобы реакция была направлена в ту сторону, куда точка может от поверхности удалиться. По одну сторону поверхности функция f{x, у, z) положительна, а по другую сторону отрицательна. Для того чтобы реакция была, например, направлена в область положительных /, необходимо, как мы это видели в статике в связи с равновесием точки на поверхности, чтобы коэффициент X был положителен. Если X в какой-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037