Главная Промышленная автоматика.

2°. Найти движение без трения тяжелой точки на плоскости, равномерно вращающейся вокруг горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости.

Будем отсчитывать время от того момента, когда вращающаяся плоскость совпадает с плоскостью хОу, которую мы предполагаем горизонтальной, принимая ось вращения за ось х. Если 8 - угол у О/? между движущейся плоскостью и плоскостью ху (рис. 164), то 6 = at, где (о - угловая скорость вращения. Уравнение вращающейся плоскости ROx будет тогда

у sin at - Z cos at = 0.

Применяя общие формулы (262), получим уравнения движения:

= 0,

m - = Л sin at, dt

m - = - - X cos at.


Рис. 164.

причем нормальная реакция будет в точности равна величине X. Для фиксирования положения точки М на движущейся плоскости воспользуемся координатами х и г в системе осей Ох, OR, причем х будет играть роль параметра qy, а г - роль параметра q. Формулы преобразования будут

X = X, у - г cos at, Z = Г sin at.

И для функции Т получим

7=-w(jt:2 + r2 + coV-).

Для действующей силы mg существует силовая функция и =- mgz ~ - mgr sin <oi.

Следовательно:

дх дТ

- = тх

2- = 0.

дТ дг

ди дг

- mg sin at.

Уравнения движения будут

dx . dx „

=0 или = 0,

0)V = -Sin at.



II. Случай неподвижной поверхности

265. Применение теоремы кинетической энергии. Указанный нами общий метод применим всегда. Но если поверхность неподвижна, то возможны упрощения, которые следует указать. В этом случае уравнение поверхности имеет вид

f(x,y,z) = 0,

и действительное перемещение, которое совершает точка, будет перпендикулярно к нормальной реакции -Л/. Если применить теорему ки-

Первое из этих уравнений показывает, что проекция Q точки М на ось х движется равномерно. Второе уравнение, будучи линейным с постоянными коэффициентами, интегрируется и имеет общий интеграл

г = Ае""* + В-""* + sin Ы.

Для нахождения уравнения проекции траектории на плоскость yz достаточно заменить в этом соотношении at углом 6. Тогда

г Ае" + Ве- + вт 8.

Представляет интерес частный случай, когда начальные условия таковы, что Д и В равны нулю; для этого достаточно, чтобы точка была брошена ОТ оси вращения таким образом, чтобы ее проекция на прямую R имела начальную скорость, равную g/2a. Тогда уравнение проекции траектории на плоскость yz будет

r = ,sine.

Это - окружность, касающаяся в точке О оси Оу. Траектория будет винтовой линией.

Для вычисления нормальной реакции возьмем снова одно из уравнений движения:

т = X sin wt. Заменяя в нем у его значением г cos at, имеем

т cos wt - S" п " cos = X sin at.

Отсюда, вспоминая уравнение, определяющее г,

--ir - g sin at,

получим

X = - mg cos at - 2ma ~.

Эта формула, в которой г следует заменить его значением через t, определяет в функции t нормальную реакцию, которая в рассматриваемом случае совпадает с X.



не зависящее от реакции. Этим уравнением можно всегда заменить одно из уравнений Лагранжа. Мы убедимся сейчас, что оно действительно представляет следствие уравнений Лагранжа.

Если поверхность движется, то нормальная реакция не исклю-чится при применении теоремы кинетической энергии, так как действительное перемещение dx, dy, dz точки не будет перпендикулярным к нормальной реакции. В самом деле, в момент t поверхность будет в положении S и точка в положении М на поверхности S; к моменту t-{~dt поверхность будет в S и точка в М на поверхности S; перемещение ММ не будет перпендикулярно к реакции Л.

Вернемся к случаю неподвижной поверхности. Из уравнения кинетической энергии сразу получаем первый интеграл, если существует силовая функция U (х, у, z) :

Может еще случиться, что Xdx-\-Ydy\-Zdz не является полным дифференциалом, но становится таковым в силу соотношения f (х, у, z) = 0. Если, например, точка поверхности определяется двумя параметрами и 2. то

X = ср (1, ,), y = {qy, q.2), z = w{qy, q,

и выражение Xrfx--Кз/-22, если заменить в нем А, У, Z, х у, z их значениями в функции q и q2, обращается в Qidqx-\-Q2dq2. Если выражение Qdq--Qdqi является полным дифференциалом функции и (qy, 2). то интеграл кинетической энергии будет иметь вид

= Uiq„q2) + h

T=U+-h,

ибо Т как раз и есть кинетическая энергия.

Этим последним уравнением можно заменить наиболее сложное из уравнений Лагранжа, и таким путем получатся два уравнения для определения 7, и 2 в функции

Пример. Рассмотреть движение точки на поверхности геликоида с направляющей плоскостью, когда точка притягивается или отталкивается осью геликоида с силой, пропорциональной расстоянию (рис. 165).

Пусть г и в - полярные координаты точки М геликоида, лежащей на образующей CD. Декартовы координаты этой точки будут:

X = г cos в, у = г sin в, г = kb. 27 Зак. 851. П. Аппель, т. I

нетической энергии, то работа этой нормальной реакции будет равна нулю, и мы получим уравнение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036