2°. Найти движение без трения тяжелой точки на плоскости, равномерно вращающейся вокруг горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости.

Будем отсчитывать время от того момента, когда вращающаяся плоскость совпадает с плоскостью хОу, которую мы предполагаем горизонтальной, принимая ось вращения за ось х. Если 8 - угол у О/? между движущейся плоскостью и плоскостью ху (рис. 164), то 6 = at, где (о - угловая скорость вращения. Уравнение вращающейся плоскости ROx будет тогда

у sin at - Z cos at = 0.

Применяя общие формулы (262), получим уравнения движения:

= 0,

m - = Л sin at, dt

m - = - - X cos at.

Рис. 164.

причем нормальная реакция будет в точности равна величине X. Для фиксирования положения точки М на движущейся плоскости воспользуемся координатами х и г в системе осей Ох, OR, причем х будет играть роль параметра qy, а г - роль параметра q. Формулы преобразования будут

X = X, у - г cos at, Z = Г sin at.

И для функции Т получим

7=-w(jt:2 + r2 + coV-).

Для действующей силы mg существует силовая функция и =- mgz ~ - mgr sin <oi.

Следовательно:

дх дТ

- = тх

2- = 0.

дТ дг

ди дг

- mg sin at.

Уравнения движения будут

dx . dx „

=0 или = 0,

0)V = -Sin at.

II. Случай неподвижной поверхности

265. Применение теоремы кинетической энергии. Указанный нами общий метод применим всегда. Но если поверхность неподвижна, то возможны упрощения, которые следует указать. В этом случае уравнение поверхности имеет вид

f(x,y,z) = 0,

и действительное перемещение, которое совершает точка, будет перпендикулярно к нормальной реакции -Л/. Если применить теорему ки-

Первое из этих уравнений показывает, что проекция Q точки М на ось х движется равномерно. Второе уравнение, будучи линейным с постоянными коэффициентами, интегрируется и имеет общий интеграл

г = Ае""* + В-""* + sin Ы.

Для нахождения уравнения проекции траектории на плоскость yz достаточно заменить в этом соотношении at углом 6. Тогда

г Ае" + Ве- + вт 8.

Представляет интерес частный случай, когда начальные условия таковы, что Д и В равны нулю; для этого достаточно, чтобы точка была брошена ОТ оси вращения таким образом, чтобы ее проекция на прямую R имела начальную скорость, равную g/2a. Тогда уравнение проекции траектории на плоскость yz будет

r = ,sine.

Это - окружность, касающаяся в точке О оси Оу. Траектория будет винтовой линией.

Для вычисления нормальной реакции возьмем снова одно из уравнений движения:

т = X sin wt. Заменяя в нем у его значением г cos at, имеем

т cos wt - S" п " cos = X sin at.

Отсюда, вспоминая уравнение, определяющее г,

--ir - g sin at,

получим

X = - mg cos at - 2ma ~.

Эта формула, в которой г следует заменить его значением через t, определяет в функции t нормальную реакцию, которая в рассматриваемом случае совпадает с X.

не зависящее от реакции. Этим уравнением можно всегда заменить одно из уравнений Лагранжа. Мы убедимся сейчас, что оно действительно представляет следствие уравнений Лагранжа.

Если поверхность движется, то нормальная реакция не исклю-чится при применении теоремы кинетической энергии, так как действительное перемещение dx, dy, dz точки не будет перпендикулярным к нормальной реакции. В самом деле, в момент t поверхность будет в положении S и точка в положении М на поверхности S; к моменту t-{~dt поверхность будет в S и точка в М на поверхности S; перемещение ММ не будет перпендикулярно к реакции Л.

Вернемся к случаю неподвижной поверхности. Из уравнения кинетической энергии сразу получаем первый интеграл, если существует силовая функция U (х, у, z) :

Может еще случиться, что Xdx-\-Ydy\-Zdz не является полным дифференциалом, но становится таковым в силу соотношения f (х, у, z) = 0. Если, например, точка поверхности определяется двумя параметрами и 2. то

X = ср (1, ,), y = {qy, q.2), z = w{qy, q,

и выражение Xrfx--Кз/-22, если заменить в нем А, У, Z, х у, z их значениями в функции q и q2, обращается в Qidqx-\-Q2dq2. Если выражение Qdq--Qdqi является полным дифференциалом функции и (qy, 2). то интеграл кинетической энергии будет иметь вид

= Uiq„q2) + h

T=U+-h,

ибо Т как раз и есть кинетическая энергия.

Этим последним уравнением можно заменить наиболее сложное из уравнений Лагранжа, и таким путем получатся два уравнения для определения 7, и 2 в функции

Пример. Рассмотреть движение точки на поверхности геликоида с направляющей плоскостью, когда точка притягивается или отталкивается осью геликоида с силой, пропорциональной расстоянию (рис. 165).

Пусть г и в - полярные координаты точки М геликоида, лежащей на образующей CD. Декартовы координаты этой точки будут:

X = г cos в, у = г sin в, г = kb. 27 Зак. 851. П. Аппель, т. I

нетической энергии, то работа этой нормальной реакции будет равна нулю, и мы получим уравнение