Главная Промышленная автоматика.

так как, очевидно.

d , дх\ , d дх\ d"-x дх

dt\ dqj dt\dqj df dq,

Ho, на основании равенств (3), x зависит от и непосредственно и через q, и q, которые являются функциями от следовательно,

дх dq,

и q, следовательно.

, дх , . дх , , дг

Точно так же зависит от t и непосредственно и через q, гельно,

dt \dqj dql 1 dq, dq, 2 + bq, dt

В выражении (6) будем рассматривать х как функцию переменных q„ q, q[, q., t. Тогда найдем, что

дх дх

дх S>-x , 7i

т. е.

dq[ dq, dq,

дх дх дх

д--х , , d-ix

dqi dq2 1 dqdt

дх дх d /дх\

~"dql dqx~"di[dqJ

Аналогичные вычисления приводят к следующим результатам:

dt\dqj

d I дг\

Заменяя в уравнении движения (5) величины дх

dy

-dq,

dy (y\ d /дг\

i dq, dq, dt\dqj dt\d,} di\dii)

найденными для них сейчас значениями, получим уравнение т

d dt

I ,дх . , ду . .дгХ" I , дх , , ду , , дг\

d {дТ\ dT W) dq,-i-

где положено



d / дТ\ dt

I дТ\

-S = Q- (7)

Уравнения (7) и (7) являются уравнениями движения по Лагранжу. Чтобы получить их, достаточно вычислить величину Г, равную кинетической энергии точки; в этой величине нужно заменить х, у, 2 их значениями, такими, как (6), чтобы выразить Т через q, q., q[, q и t\ после этого можно составить уравнения (7) и (7).

В этих уравнениях правые части и вычислены выше. Их можно определить еще следующим образом: сообщим точке возможное перемещение по поверхности .S, т. е. такое, которое получится, если, оставляя t постоянным, дать величинам q, и q приращения bq и 82- Проекции этого возможного перемещения на оси координат будут

5 дх , дх dy <ч , ду

УдТ+щ,""

дг . , Ог 0Z = oq, -4- - од,. дд, дд, -

Отсюда, учитывая найденные выше значения Q, и Qj, получим для возможной силы F выражение

ХЬх + У о у + Z 82 Qi 81 -j- Qa 82-

Таким образом, для нахождения величин Qj и достаточно определить коэффициенты при и в выражении возможной работы Силы F на произвольном перемещении, осуществляемом на поверхности S в положении, которое эта поверхность занимает в момент t.

Чтобы получить, в частности, нужно сообщить точке возможное перемещение, которое получится, если, оставляя постоянными 2 и t, изменить только q, на величину ее вариации 81; тогда соответствующая возможная работа силы F будет Qiqy. Точно так же, чтобы получить q2, нужно взять возможное перемещение, при котором постоянны q, и t, работа силы F будет тогда равна QgSa-

Если существует силовая функция U (х, у, z) или выполняется более общее условие, согласно которому X, У, Z являются частными производными функции и (X, у, г, t), содержащей время, то

Точно так же, преобразуя уравнение (4), найдем



Действительно, U (х, у, z, t) зависит от q, и q через х, у, z и, следовательно.

ди дПдх

ди ду . ди дг удх ду dqi дг dq, dq,

dq, дх dq. Аналогичное выражение получим и для Q.

264. Приложения. Г. Движение точки на неподвижной плоскости в полярных координатах. Найдем движение точки на плоскости хОу, приняв за параметры q, и q две полярные координаты гиб. Формулы, определяющие X, у, г ъ функции двух параметров, для рассматриваемого случая будут следующие:

X = г cos 9. у = г sin 9, г = 0.

Допустим, что на точку действует сила F, лежащая в плоскости и имеющая проекции {X, Y, О). Функция Т будет

а уравнения движения -

at Wj дг -

Так как q, = г, ? = i

d (dT\ дТ dtWl д%

Qx=X~-\- kI = cos 9-f ysine, aq, aq,

0. = 1 -f К = - Л:г sin 9 + Kr cos 9. dq, dqo

Q<i можно найти и непосредственно. Обозначим через R и Р составляющие силы по радиусу-вектору в направлении возрастания г и по прямой, к нему перпендикулярной в направлении возрастания 9. На перемещении or вдоль радиуса-вектора (92=const.) работа силы F, равная сумме работ сил Р и R, приводится к виду R Ьг, так как работа силы Р равна нулю (рис. 163). Следовательно,

Точно так же для возможного перемещения, которое получается, если предполо-р jgo жить, что q,, т. е. г, остается постоянным,

" • а 9 изменяется, н которое происходит по

окружности радиуса ОМ и равно гЬЬ, работа силы F сводится к работе силы Р и равна Рг 86. Имеем, следо-вательно QPr.

Учитывая найденные значения T,Q, и Qj, получим уравнение движения:


(тг)-тгЧ =«,

Когда сила является центральной, получаем ,.

(«г29) = 0,

(закон площадей).

A(mr2e) = Pr.

Р все время равно нулю, и мы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [133] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038