Главная Промышленная автоматика.

20. Доказать, что между траекториями, синхронными и синодальными кривыми существует следующее соотнощение: пусть МА, MB, МС-соответственные касательные, проведенные в сторону движения к тем из этих линий, которые пересекаются в точке М. Тогда

2АМВ = 71 + АМС

2СМВ = п 4- СМ А.

(Фуре, Comptes rendus. т. CII1 и де Сен-Жермен, Bulletin des Sciences mathematiques, 1889.)

21. Доказать, что если синхронные кривые ортогональны к траекториям, то последние совпадают с синодальными кривыми и обращаются в брахистохроны для рассматриваемых сил. (Там же.)

22. Найти движение тяжелой материальной точки по прямой, неизменно связанной с вертикальной осью, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью.

23. Найти движение тяжелой материальной точки по вертикальной окружности, неизменно связанной с вертикальной осью, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью. Предполагается, что проекция оси на плоскость окружности проходит через ее центр.

24. Показать, что задача о таутохроне для случая, когда существует силовая функция, приводится к интегрированию одного дифференциального уравнения с частными производными второй степени и первого порядка. (Кёнигс, Comptes rendus, 1 мая 1893.)



ГЛАВА XIII

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ

1. Общие положения

262. Уравнения движения. Дана поверхность S, которая может изменять как свое положение, так и свою форму, и пусть

f{x,y,z,t) = Q (1)

-уравнение этой поверхности в прямоугольных координатах. В частном случае, когда поверхность неподвижна, это уравнение не будет содержать времени t. Материальная точка М с координатами х, у, z скользит без трения по этой поверхности и находится под действием заданных сил, равнодействующая которых F имеет проекции X, К, Z. Требуется найти движение точки. Со стороны поверхности на точку будет действовать нормальная реакция Л, проекции которой будут величинами вида

4. 1. (N)

дх ду дг

Точку можно рассматривать как свободную, находящуюся под действием сил F к N. Уравнения движения будут

Эти уравнения совместно с уравнением (1) поверхности образуют систему четырех уравнений, определяющих х, у, z к Х ъ функции t.

Для нахождения уравнений, определяющих х, у, z ъ функции /, необходимо из уравнений (2) исключить X, что приведет к двум уравнениям. После того, как движение будет найдено, значение X, а следовательно, и величина реакции, найдется из любого уравнения системы (2) или из комбинации этих уравнений.

263. Уравнения Лагранжа. Метод Лагранжа. который мы сейчас изложим, сходен с тем, которым мы пользовались для изучения движения точки по кривой (п. 259). Всегда возможно выразить координаты точки поверхности S и, в частности, движущейся точки М, в функции двух параметров q, и q:

X <р (1, q. t), = <jj (1, q, t), 2 = u) {q,, q, t). (3)



dfi dq, dfi dqy dfi dqj -

dq, dq, ддг В этом равенстве коэффициент к, исчез вследствие соотношения

дх dq, ду dq, dz dq,

которое выражает, что нормаль к поверхности нормальна и к кривой, которую опишет точка (3), если, сохраняя постоянными q И t, изменять только параметр q; эта кривая лежит на поверхности .S. Точно так же, умножая уравнения движения (2) соответственно

дх dy dz на И складывая, получим уравнение

Ofxd dfydi dizdz\

\ dfi dq. dfi dq, dfi dq,) -

2 dq, dq, dq2

Уравнения (4) и (4) и будут определять q и q в функции t. Их можно написать в значительно более простой форме. Обозначим через д и q производные от и 2 по и через х. у, z проекции dx dy dz

lit di lii OPO™ точки. Уравнение (4) можно представить в виде

Эти выражения таковы, что если из них исключить и •О вновь получится уравнение (1) поверхности. Они содержат явно время t, которое ВХОДИТ в уравнение (1). В частном случае, когда поверхность S неподвижна, уравнение (1) не будет содержать времени и можно будет распорядиться так, чтобы выражения (3) для х, у, z также не содержали времени явно.

Чтобы знать движение, достаточно знать, как выражаются через t параметры q, q, определяющие положения движущейся точки. Для нахождения q и требуются два уравнения, которые могут быть составлены следующим образом. Умножив уравнения (2) соответственно

дх ду дг на , s- И СЛОЖИВ их, получим:

dqi dq\ dq

( dx дх j diy ду , d-z дг





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037